Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 6 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$A=\left(10x^5{y}^3-25x^3{y}^2+20x^4{y}^3\right):\left(-5x^2{y}^2\right)+2x^{2}y\left(x+2\right)$

    $=10x^5{y}^3:\left(-5x^2{y}^2\right)-25x^3{y}^2:\left(-5x^2{y}^2\right)+20x^4{y}^3:\left(-5x^2{y}^2\right)+2x^{2}y\cdot x+2x^{2}y\cdot 2$

    $=-2x^{3}y+5x-4x^{2}y+2x^{3}y+4x^{2}y$

    $=\left(-2x^{3}y+2x^{3}y\right)+5x+\left(-4x^{2}y+4x^{2}y\right)$

    $=5x.$

Vì $5x⋮5$ với mọi $x$ nên $A$ luôn chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của biến $x.$

b) Ta có $A=20$ nên $5x=20,$ do đó $x=4.$

Vậy $x=4.$

Hướng dẫn giải

a) $4x^2-6x$ $=2x\left(2x-3\right).$

b) $25{\left(x-y\right)}^2-16{\left(x+y\right)}^2$ $={\left[5\left(x-y\right)\right]}^2-{\left[4\left(x+y\right)\right]}^2$ $$={\left(5x-5y\right)}^2-{\left(4x+4y\right)}^2$$ $$=\left[5x-5y-\left(4x+4y\right)\right]\left[5x-5y+\left(4x+4y\right)\right]$$ $$=\left(5x-5y-4x-4y\right)\left(5x-5y+4x+4y\right)$$ $$=\left(x-9y\right)\left(9x-y\right).$$

Hướng dẫn giải

a) ${\left(2x-1\right)}^2-25=0$ ${\left(2x-1\right)}^2-5^2=0$ $\left(2x-1-5\right)\left(2x-1+5\right)=0$ $\left(2x-6\right)\left(2x+4\right)=0$
Trường hợp 1: $2x-6=0$ $2x=6$ $x=3$	Trường hợp 2: $2x+4=0$ $2x=-4$ $x=-2$
Vậy $x\in \left\{3;-2\right\}.$
b) $x^3+27+\left(x+3\right)\left(x-9\right)=0$ $\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)+\left(x+3\right)\left(x-9\right)=0$ $\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9+x-9\right)=0$ $\left(x+3\right)\left(x^2-2x\right)=0$ $\left(x+3\right)x\left(x-2\right)=0$
Trường hợp 1: $x+3=0$ $x=-3$	Trường hợp 2: $x=0$	Trường hợp 3: $x-2=0$ $x=2$
Vậy $x\in \left\{-3;0;2\right\}.$

Hướng dẫn giải

1)

ΔABC cân tại $A,$ đường trun (ảnh 2)">

a) Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AH$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao của tam giác.

Do đó $AH\perp BC$ nên $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ đều vuông tại $H.$

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$ có $HK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$ nên $KH=\frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

Tương tự, xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$ ta có $IH=\frac{1}{2}AC.$

Mà $I,$ $K$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$ nên $KA=KB=\frac{1}{2}AB;$ $IA=IC=\frac{1}{2}AC.$

Lại có $AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A)$

Do đó $KA=KH=IA=IH.$

Xét tứ giác $AKHI$ có $KA=KH=IA=IH$ nên là hình thoi.

b) Xét tứ giác $AHCE$ có $I$ là trung điểm của hai đường chéo $AC,HE$ nên $AHCE$ là hình bình hành.

Lại có $\widehat{AHC}=90^{\circ }$ nên hình bình hành $AHCE$ là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật $AHCE$ là hình vuông thì hai cạnh kề bằng nhau, tức $HA=HC.$

Mà $H$ là trung điểm của $BC$ nên $HB=HC=\frac{1}{2}BC.$

Khi đó $$HA=HB=HC=\frac{1}{2}BC.$$

Xét $\Delta ABC$ có đường trung tuyến $AH$ thỏa mãn $$HA=\frac{1}{2}BC$$ nên $\Delta ABC$ vuông tại $A.$

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AHCE$ là hình vuông.

2)

ΔABC cân tại $A,$ đường trun (ảnh 3)">

Đặt các điểm $$A,B,C,D,E,M,N,P$$ như hình vẽ trên.

⦁ Xét $\Delta AMC$ có $E,P$ lần lượt là trung điểm của $AC,MC$ (do $EA=EC,PM=PC)$ nên $EP$ là đường trung bình của $\Delta AMC.$

Do đó $EP=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}\cdot 2,7=1,35\left(\mathrm{m}\right)$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay $x=1,35\left(\mathrm{m}\right).$

⦁ Ta có $MB=MN+NB$ và $MC=MP+PC$

Mà $MN=NB=MP=PC$ nên $MB=MC.$

Xét $\Delta ABC$ có $D,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ (do $DB=DA,MB=MC)$ nên $DM$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Do đó $$DM=\frac{1}{2}AC$$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra $AC=2DM=2\cdot 2,8=5,6\left(\mathrm{m}\right).$ Hay $$y=5,6\left(\mathrm{m}\right).$$

Vậy độ dài của cây chống đứng bên và độ dài của của cánh kèo lần lượt là $x=1,35\left(\mathrm{m}\right);$ $y=5,6\left(\mathrm{m}\right).$

Hướng dẫn giải

a) Biểu đồ đã cho là biểu đồ đoạn thẳng.

Để thu được dữ liệu được biểu diễn ở biểu đồ trên, ta sử dụng phương pháp thu thập gián tiếp bằng cách truy cập website của Hiệp hội Cà phê – Ca cao Việt Nam.

b) Bảng thống kê tương ứng cho dữ liệu trong biểu đồ đã cho:

Nếu chọn một biểu đồ khác để biểu diễn dữ liệu trên, ta nên chọn loại biểu đồ cột kép.

c) Ta có bảng thống kê bổ sung sự tăng giá mỗi tấn cà phê của năm 2020 so với năm 2019 như sau:

Vậy, trong sáu tháng cuối năm 2020, tháng 12 có sự tăng giá cà phê mạnh nhất so với cùng kì năm trước.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$a^3+b^3+c^3=3abc$

$a^3+b^3+c^3-3abc=0$

${\left(a+b\right)}^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0$

${\left(a+b\right)}^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0$

${\left(a+b+c\right)}^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0$

$\left(a+b+c\right)\left[{\left(a+b+c\right)}^2-3ac-3bc-3ab\right]=0$

$\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab\right)=0$

Suy ra $a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab=0$ (do $a+b+c\ne 0).$

Nên $$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca.$$

Khi đó ta có $N=\frac{a^2+b^2+c^2}{{\left(a+b+c\right)}^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}$

                        $=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{3}.$

Vậy $N=\frac{1}{3}.$