Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 29)

Cho hai số phức $z_1$ và $z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1;\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{3}$. Khi đó $\left|z_1-z_2\right|=$ (1) __1__.

Giải thích

Đặt $z_1=a_1+b_{1}i;z_2=a_2+b_{2}i$.

Ta có: $\{\begin{array}{c}{a}_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2=1\\ {\left(a_1+a_2\right)}^2+{\left(b_1+b_2\right)}^2=3\end{array}.$

Suy ra $2\left(a_1{b}_1+a_2{b}_2\right)=1$ do đó ${\left(a_1-a_2\right)}^2+{\left(b_1-b_2\right)}^2=1\Rightarrow \left|z_1-z_2\right|=1$.

Giá trị của k bằng 7 .

Giá trị của p bằng -4 .

Giá trị của q bằng 3 .

Giải thích

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\left(Oxyz\right)$, gọi điểm $M\left(x;y;z\right)$, điểm $N\left(a;b;c\right)$.

Khi đó $M$ thuộc mặt cầu tâm $I\left(0;1;1\right)$, bán kính $R=1$ và $N$ thuộc mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-4=0$.

Suy ra $P=(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=M{N}^2\left(1\right)$.

Ta có $\left|IN-MI\right|\le MN$ suy ra $MN$ nhỏ nhất khi $M,N,I$ thẳng hàng.

Do vậy $MN$ nhỏ nhất khi $N$ là hình chiếu của $I$ lên $\left(P\right)$ và $M$ là giao của $IN$ và mặt cầu.

Khi đó $MN=IN-R$.

Mà $IN=\mathrm{d}\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{|0+1+1-4|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Suy ra $P_{\min }=(IN-R{)}^2={\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-1\right)}^2=\frac{7-4\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $k=7;p=-4;q=3$.

Giá trị của $n$ bằng 5 .

Khi đó hệ số của số hạng chứa $x$ của khai triển $(3x-1{)}^n$ là 15 .

Giá trị của biểu thức $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots +C_n^n$ bằng 32 .

Giải thích

Xét khai triển: $(1+x{)}^n=C_n^0+x{C}_n^1+x^2{C}_n^2+\dots +x^n{C}_n^n$.

Thay $x=2$ ta có: $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=(1+2{)}^n=3^n$.

Theo đề bài: $3^n=243\iff n=5$.

Với $n=5$ thì:

+ $(3x-1{)}^n=(3x-1{)}^5=\sum _{k=0}^5{C}_5^k{(3x)}^{5-k}.(-1{)}^k=\sum _{k=0}^5{C}_5^k{3}^{5-k}.{(-1)}^k.x^{5-k}$

Ta có: $5-k=1\iff k=4$.

Hệ số của số hạng chứa $x$ của khai triển là $C_5^4.3^{5-4}.(-1{)}^4=15$.

+ $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots +C_n^n=(1+1{)}^n=2^n=2^5=32$.

Cuốn sách có 702 trang.

Chữ số thứ 1010 là chữ số 7 .

Giải thích

Từ trang $1-9$ cần dùng 9 chữ số.

Từ trang $10-99$ có $99-9=90$ số nên cần dùng $2.90=180$ chữ số.

Từ $100-999$ có $999-99=900$ số nên cần dùng $3.900=2700$ chữ số.

Ta thấy $2700>1998$ nên còn lại $1998-\left(9+180\right)=1809$ chữ số để đánh số trang có số thứ tự gồm 3 chữ số.

Mặt khác 1809 : $3=603$ nên có 603 số có 3 chữ số.

Vậy cuốn sách có $603+99=702$ trang.

Chữ số thứ 1010 thuộc số có 3 chữ số.

Ta có: $\frac{1010-\left(9+180\right)}{3}\approx 273,67$.

Vậy chữ số thứ 1010 thuộc số có 3 chữ số liền sau số $273+99=372$ hay chữ số thứ 1010 thuộc số 373.

Ta thấy số chữ số cần dùng để đánh đến hết trang 372 là $9+180+273.3=1008$ chữ số.

Vậy chữ số thứ 1010 là chữ số 7.

Tổng của 11 số hạng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$ là $S_n=253$.

Số hạng thứ 10 của dãy số $\left(u_n\right)$ là $u_{10}=$ 39.

Giải thích

Ta có $S_n=\frac{n\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}\iff \frac{n\left(2.3+\left(n-1\right).4\right)}{2}=253$

$\iff 4n^2+2n-506=0\iff [\begin{array}{c}n=11\\ n=-\frac{23}{2}\left(L\right)\end{array}$

Ta có $u_{10}=u_1+\left(10-1\right)d=3+9.4=39$.