Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 8)

Trong mặt phẳng phức, cho các điểm $$A\left(-4;1\right),B\left(1;3\right),C\left(-6;0\right)$$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z_1,z_2,z_3.$ Trọng tâm $G$ của tam giác ABC là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

Trong không gian $$Oxyz,$$ cho ba điểm $A\left(1;3;2\right),B\left(1;2;1\right),C\left(4;1;3\right).$ Mặt phẳng đi qua trọng tâm $$G$$ của tam giác $$ABC$$ và vuông góc với đường thẳng $$AC$$ có phương trình là

Tập nghiệm của bất phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}+\frac{1}{x-3}>\frac{1}{x-3}$ là

Trong không gian $$Oxyz,$$ cho điểm $A\left(2;-3;5\right).$ Điểm $$A^{\prime }$$ đối xứng với điểm $$A$$ qua trục Oy. Tọa độ điểm $$A^{\prime }$$ là

Thầy Duy muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là $$45cm,43cm,$$ $$41cm,\dots ,31cm.$$ Hỏi chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua là bao nhiêu? (giả sử chiều dài các mối nối là không đáng kể).

Anh Hưng trúng vé số giải thưởng 125 triệu đồng, sau khi trích ra $$20\%$$ số tiền để chiêu đãi bạn bè và làm từ thiện, anh gửi số tiền còn lại vào ngân hàng với lãi suất $$0,31\%$$ một tháng. Dự kiến đúng 10 năm sau, anh rút tiền cả vốn lẫn lãi cho con gái vào đại học. Hỏi khi đó anh Hưng rút được bao nhiêu tiền? (làm tròn đến hàng nghìn).

Gọi $(H)$ là hình được giới hạn bởi nhánh parabol $y=2x^2$ (với $x\ge 0$), đường thẳng $y=-x+3$ và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình $(H)$ khi quay quanh trục $$Ox$$ là

Tập hợp các giá trị của $m$ để hàm số $y=-m{x}^3+x^2-3x+m-2$ nghịch biến trên khoảng $$\left(-3;0\right)$$ là

Trên mặt phẳng tọa độ $$Oxy,$$ cho hình bình hành $$ABCD$$ có phương trình đường thẳng $$AB$$ là $2x+y+7=0$, phương trình đường thẳng $$AD$$ là $x-4y-1=0$ và giao điểm của hai đường chéo $$AC,BD$$ là $$I\left(1;2\right).$$ Phương trình của đường thẳng $$BC$$ là

Trên mặt phẳng tọa độ $$Oxy,$$ giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $\Delta :x-2y+m=0$ cắt elip $(E):\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ tại hai điểm phân biệt là

Trên mặt phẳng toạ độ $$Oxy,$$ tập hợp biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $$\left|{\left|z\right|}^2-z\left(\bar{z}+i\right)-i\right|=3$$ là đường tròn $(C).$ Khoảng cách từ tâm $I$ của đường tròn $(C)$ đến trục tung bằng

Trong không gian $$Oxyz,$$ cho ba điểm $$A\left(0;1;2\right),B\left(2;-2;1\right),C\left(-2;1;0\right).$$ Khi đó phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $ax+y-z+d=0.$ Giá trị $a$ và $$d$$ lần lượt là

Cho hình nón $(N)$ có góc ở đỉnh bằng $120^{\circ }.$ Mặt phẳng qua trục của $(N)$, cắt $(N)$ theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 4. Thể tích của khối nón $(N)$ là

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=x^2-2x$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$ Hàm số $g\left(x\right)=f\left(1-\frac{x}{2}\right)+4x$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho hình chóp $$S.ABCD$$ có đáy $$ABCD$$ là hình chữ nhật, $AB=a,AD=2a;SA$ vuông góc với đáy, khoảng cách từ $A$ đến $\left(SCD\right)$ bằng $\frac{a}{2}.$ Thể tích của khối chóp theo $$a$$ là

Trong không gian $$Oxyz,$$ cho các đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-6+t\mathrm{v}\grave{\mathrm{a}}\\ z=2-t\end{array}$ $\Delta :\{\begin{array}{l}x=5+2t\\ y=1+t\\ z=-1-t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x+3y-z-1=0.$ Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ thuộc $d$, tiếp xúc với cả $\Delta$ và $(P).$ Biết hoành độ điểm $I$ là số nguyên. Tung độ của điểm $I$ là

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $$ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$$ có cạnh đáy bằng $a$, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(A^{\prime }BC\right)$ bằng $\frac{a}{3}.$ Thể tích của lăng trụ đã cho là

Trong không gian $$Oxyz,$$ cho các đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}$ và $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{x+3}{2}.$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua $$A\left(1;0;2\right)$$, cắt $d_1$ và vuông góc với $d_2.$Phương trình đường thẳng $\Delta$ là

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}.$ Biết $f\left(1\right)=2$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2{f}^{\prime }\left(x\right)\mathrm{d}x=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left(2-\sqrt{x}\right)\mathrm{d}x=4.$ Giá trị của $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ bằng