Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 5)

Đáp án

$6x-4y-3z+12=0$. - Đúng

$\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$. - Đúng

Giải thích

Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1\iff 6x-4y-3z+12=0$.

[−2;2]. - ĐÚNG

(−1;3]. - ĐÚNG

Giải thích

Từ đồ thị ta nhận thấy hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị.

Hàm số $g(x)=|f(x)+2m|$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $f(x)+2m=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của phương trình $f(x)+2m=0$ là số giao điểm của hai đồ thị $\{\begin{array}{l}y=f(x)\\ y=-2m\end{array}$, trong đó hàm số $y=-2m$ có đồ thị là đường thẳng song song hoọ̆c trùng với trục Ox.

Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình $f(x)+2m=0$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-3<-2m<1\iff -\frac{1}{2}<m<\frac{3}{2}$.

Vậy $m\in \left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ thỏa mãn. Suy ra tập hợp các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là tập con của các tập hợp $[-2;2]$ và $(-1;3]$.

Đáp án

Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện ${\log }_5\left(5^a{.125}^b\right)={\log }_{25}5$. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Nếu $b=\frac{1}{2}$ thì giá trị của số thực a bằng -1 .

Mối liên hệ giữa a và b là $$2a+6b=$$ 1  .

Nếu a là số nguyên âm thuộc [−10;−5] thì có 0  giá trị nguyên dương của b.

Giải thích

Ta có: ${\log }_5\left(5^a{.125}^b\right)={\log }_{25}5\iff {\log }_5{5}^a+{\log }_5{5}^{3b}={\log }_{5^2}5$

$\iff a{\log }_{5}5+3b{\log }_{5}5=\frac{1}{2}{\log }_{5}5\iff a+3b=\frac{1}{2}\iff 2a+6b=1$.

Nếu $b=\frac{1}{2}$ thì $2a+6.\frac{1}{2}=1\iff a=-1$.

Vì $a$ là số nguyên âm thuộc $[-10;-5]$ nên ta có bảng sau:

Đáp án

Một lon nước hình trụ có dung tích là 340 ml, cao 10 cm. Biết rằng thể tích vỏ lon không đáng kể và kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ nhất.

Đường kính đáy là lon nước là (1) __6,6__  (cm).

Diện tích toàn phần của lon nước là (2) __274,7__ (cm²).

Giải thích

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích của lon nước là $V=\pi R^2.10\iff 340=\pi R^2.10\iff R\approx 3,3\mathrm{cm}\Rightarrow d\approx 6,6\mathrm{cm}$ là đường kính đáy của lon nước.

Diện tích toàn phần của lon nước là: $2\pi Rh+2\pi R^2\approx 274,7$ (cm2).

Giải thích

Gọi số phức $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$.

Khi đó $|z-1+2i|=4\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=16$.

Suy ra tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z-1+2i|=4$ là đường tròn tâm $I(1;-2)$ và bán kính $R=4$.

Đáp án

Lấy hôm nay là số 0 trên trục số. Nếu ngày hôm trước ngày hôm qua là ngày 17 tháng 1 thì 3 ngày sau ngày mai là ứng với số (1) __ 4 __ trên trục số?

Giải thích

Ngày trước ngày hôm qua là 17 tháng 1 nên ngày của ngày hôm qua là 17 + 1 = 18 tháng 1.

Ngày hôm nay là 18 + 1 = 19 tháng 1.

Ngày mai là 19 + 1 = 20 tháng 1.

Ngày 3 ngày sau ngày mai là 20 + 3 = 23 tháng 1.

Biểu diễn trên trục số ta có:

Vậy 3 ngày sau ngày mai là ứng với số 4 trục số.

Đáp án

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $4z^2-2(2m+1)z+m^2=0$ ($m$ là tham số thực). Có (1)

__ 3 _  giá trị của tham số $m$ để phương trình đó có nghiệm $z_o$ thỏa mãn $\left|z_o\right|=3$? 

 Giải thích

Phương trình $4z^2-2(2m+1)z+m^2=0(1)$ có ${\Delta }^{\prime }=4m+1$.

+Trường hợp 1. ${\Delta }^{\prime }\ge 0\iff m\ge -\frac{1}{4}$.

Phương trình (1) có nghiệm $z_o$ thỏa mãn $\left|z_o\right|=3$ suy ra $z_o=3$ hoặc $z_o=-3$.

Nếu $z_o=3$ suy ra $36-6(2m+1)+m^2=0\iff m^2-12m+30=0\iff [\begin{array}{l}m=6+\sqrt{6}\\ m=6-\sqrt{6}\end{array}$, (chọn).

Nếu $z_o=-3$ suy ra $36+6(2m+1)+m^2=0\iff m^2+12m+42=0$ vô nghiệm.

+ Trường hợp 2. ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<-\frac{1}{4}$. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phức $z_1;z_2$ thỏa mãn $z_o=z_1=\overline{z_2}$.

Suy ra $\left|z_o\right|=3\iff z_o.\overline{z_0}=9\iff z_1.z_2=9\iff \frac{m^2}{4}=9\iff m=\pm 6$.

Kết hợp điều kiện $m<-\frac{1}{4}$ suy ra $m=-6$. Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn.

Giải thích

Ta có: $\begin{array}{l}{u}_1=4.2^{1-1}-3.1=1\\ u_3=4.2^{3-1}-3.3=7\end{array}$. 

Vậy u1 và u3 đều là số nguyên dương.

Đáp án

Cho hình nón $(N)$ có đường cao $SO=9$ và bán kính đáy bằng $R$, gọi $M$ là điểm trên đoạn SO sao cho $OM=x(0<x<9)$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với trục SO tại $M$ giao với hình nón $(N)$ theo thiết diện là đường tròn $(C)$. Giá trị của $x$ bằng (1) __ 3 __  để khối nón có đỉnh là điểm $O$ và đáy là hình tròn $(C)$ có thể tích lớn nhất?  

Giải thích

Gọi BC là đường kính của $(C)$ và AD là đường kính của đường tròn đáy của $(N)$ sao cho $BC//AD$, S, A, B thẳng hà̀ng $\Rightarrow S,C,D$ thẳng hàng.