Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 4)

Phương pháp giải

- Tính u1; u2;... rồi đoán quy luật của dãy số.

Lời giải

u1 = 1

u2 = 2.1 + 3 = 5 = 23 − 3

u3 = 2.5 + 3 = 13 = 24 − 3

u4 = 2.13 + 3 = 29 = 25 − 3

...

un = 2n+1 − 3

Đáp án “1”

Phương pháp giải

Lời giải

Chiếu gầu ở vị trí thấp nhất khi 

 $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$

Vậy chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút, 1 phút, 2 phút, …

Phương pháp giải

- Xếp A và F

- Xếp C và D

- Sau đó mới xếp vị trí cho B và E.

Lời giải

Số cách xếp A và F là $A_3^2$

Số cách xếp C và D là $A_3^2$

Số cách xếp B và E là 2!

Số cách xếp vị trí cho 6 bạn là $A_3^2$.$A_3^2$.2! = 72

=> Mệnh đề 1 đúng, mệnh đề 3 sai.

Sau khi xếp vị trí cho A, C, D, F thì chỉ còn đúng 1 vị trí chẵn và 1 vị trí lẻ.

=> B và E khác tính chẵn lẻ

=> Mệnh đề 2 sai.

Phương pháp giải

Tập A có n phần tử thì số tập con khác rỗng của A là $2^n-1$

Số tập con có k phần tử của tập A có n phần tử là $C_n^k$

Lời giải

Số tập con khác rỗng của A là 26 − 1 = 63

=> Mệnh đề 1 sai

Số tập con có 3 phần tử là số cách chọn 3 phần tử trong 6 phần tử: $C_6^3=20$

=> Mệnh đề 2 đúng

Số tập con có 2 phần tử là: $C_6^2=15$

Số tập con có 4 phần tử là: $C_6^4=15$

=> Mệnh đề 3 đúng

Phương pháp giải

Xét từng mệnh đề.

Sử dụng công thức:

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)$

Lời giải

+) Ta có $(1-2x{)}^{20}=\sum _{k=0}^{20}{C}_{20}^k(-2{)}^k{x}^k,(k\in Z)\Rightarrow a_0=C_{20}^0,a_1=-2.C_{20}^1,a_2=(-2{)}^2{C}_{20}^2=4C_{20}^2$ .

Vậy $a_0-a_1+a_2=C_{20}^0+2C_{20}^1+4C_{20}^2=801.$

+) Ta có: $(1-2x{)}^{20}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{20}{x}_{20}$ (1).

Thay x = 1 vào (1) ta có: $a_0+a_1+a_2+\cdots +a_{20}=(-1{)}^{20}=1.$

Phương pháp giải

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Gọi O là trung điểm của BC.

- Tam giác ABC vuông tại A,O là trung diểm của cạnh huyền BC, suy ra OA = OB = OC

- Chứng minh ΔSHA = ΔSHB = ΔSHC

- Trong ΔSAH dựng trung trực của SA cắt SH tại I.

- Chứng minh IA = IB = IC = IS.

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Gọi O là trung điểm của BC.

Tam giác ABC vuông tại A,O là trung diểm của cạnh huyền BC, suy ra OA = OB = OC (1).

Xét các tam giác ΔSHA, ΔSHB, ΔSHC có:

$\{\begin{array}{l}\mathrm{SH}\mathrm{chung}\\ \widehat{SHA}=\widehat{SHB}=\widehat{SHC}={90}^{\circ }\Rightarrow \Delta SHA=\Delta SHB=\Delta SHC(\mathrm{g}.c.g)\\ \widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}={60}^{\circ }\end{array}$

$\Rightarrow HA=HB=HC$

$\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}=60^{\circ }$

⇒ ΔSBC đều cạnh bằng 6 (cm)

Từ (1) và (2) suy ra H trùng O. Khi đó SH là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Trong ΔSAH dựng trung trực của SA cắt SH tại I.

Khi đó IA = IB = IC = IS. Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

ΔSBC đều cạnh bằng 6(cm) $\Rightarrow SO=3\sqrt{3}\Rightarrow SI=\frac{2}{3}.SO=\frac{2}{3}.3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ .

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: $S=4\pi (2\sqrt{3}{)}^2=48\pi \left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$.

Phương pháp giải

a) Tìm chữ số tận cùng của một số là tìm dư trong phép chia số đó cho 10 .

$a\equiv x(\mathrm{mod}m)$

$b\equiv y(\mathrm{mod}m)$

$a.b\equiv x.y(\mathrm{mod}m)$

$a^n\equiv x^n(\mathrm{mod}m)$

b) Tìm hai chữ số tận cùng của một số là tìm dư trong phép chia số đó cho 100 .

Lời giải

a) Tìm chữ số tận cùng của một số là tìm dư trong phép chia số đó cho 10 . Vì $9^{2n+1}=9.81^n\equiv 9(\mathrm{mod}10)$.

Do $9^{10}$ là số lẻ nên số $9^{9^{10}}$ có chữ số tận cùng là 9 .

b) Tìm hai chữ số tận cùng của một số là tìm dư trong phép chia số đó cho 100 .

Ta có $3^4=81\equiv -19(\mathrm{mod}100)\Rightarrow 3^8\equiv (-19{)}^2(\mathrm{mod}100)$

Mà $(-19{)}^2=361\equiv 61(\mathrm{mod}100)$

Vậy $3^8\equiv 61(\mathrm{mod}100)$

$3^{10}\equiv 61.9\equiv 549\equiv 49(\mathrm{mod}100)$

$3^{20}\equiv 49^2\equiv 01(\mathrm{mod}100)\left(\mathrm{do}{49}^2=2401=24.100+1\right)$

Do đó $3^{1000}\equiv 01(\mathrm{mod}100)$ nghĩa là hai chữ số sau cùng của $3^{1000}$ là 01.

Tất cả các số là bội của 100 đều chia hết cho 5 , do đó số dư khi chia $3^{1000}$ cho 5 là 1

Đáp án

Hình thang cân.

Hình thoi. - Đ

Hình tam giác đều. - Đ

Hình bình hành.

Phương pháp giải

Xét từng đáp án.

Lời giải

Hình thang cân chỉ có 1 trục đối xứng.

Hình thoi có 2 trục đối xứng (là hai đường chéo).

Tam giác đều có 3 trục đối xứng (nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện).

Hình hình hành không có trục đối xứng.