Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 24)

Đáp án

Tập giá trị của $x$ là $\left[a;b\right)$ với $a$ bằng 1 và $b$ bằng 2.

Giải thích

Đặt $\left[x\right]=y,y\in \mathbb{Z}$. Phương trình trở thành: $4y^2+5y-9=0$.

Suy ra $y=1$ hoặc $y=-\frac{9}{5}$ (loại do $-\frac{9}{5}\notin \mathbb{Z}$ ).

Do đó $\left[x\right]=y=1\Rightarrow 1\le x<2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left[1;2\right)$.

Đáp án

Với $\forall m\in \mathbb{R}$, trọng tâm  có cao độ bằng 0.

Với $m=$ -2 thì  vuông tại $A$.

Có 2 giá trị của tham số $m$ để $S_{ABC}=7$.

Giải thích

Với $\forall m\in \mathbb{R}$, trọng tâm  có cao độ bằng 0 .

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(2;0;-3\right);\overrightarrow{AC}=\left(m+2;2-2m;0\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(6m-12;-3m-6;4-4m\right)$

Để  vuông tại $A$ thì $AB\perp AC\iff 2\left(m+2\right)+0\left(2-2m\right)-3.0=0\iff m=-2$.

$S_{ABC}=7\iff \frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]\right|=7\iff (6m-12{)}^2+(-3m-6{)}^2+(4-4m{)}^2=14^2$

$\iff 61m^2-140m=0\iff [\begin{array}{l}m=0\\ m=\frac{140}{61}\end{array}$.

Vậy có 2 giá trị của tham số $m$ để $S_{ABC}=7$.

Đáp án

Cần ít nhất 192 lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm $M$ đạt trên 30 .

Biết rằng công ty chỉ có ngân sách đủ để phát tối đa 300 lần quảng cáo, khi phát đến lần quảng cáo cuối cùng thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm $M$ đạt 71 _ % (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Giải thích

+) Để số người xem mua sản phẩm $M$ đạt trên 30 thì

    $P\left(n\right)>0,3\iff \frac{1}{1+50.e^{-0,016n}}>0,3\iff 1+50.e^{-0,016n}<\frac{1}{0,3}\iff e^{-0,016n}<\frac{7}{150}\iff e^{0,016n}>\frac{150}{7}$

$\iff 0,016n>\ln \left(\frac{150}{7}\right)\iff n>191,55$.

Vậy cần ít nhất 192 lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm $M$ đạt trên 30.

+) Khi phát đến lần quảng cáo cuối cùng thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm $M$ đạt

$P\left(300\right)=\frac{1}{1+50.e^{-0,016.300}}\approx 0,71=71$.

Đáp án

Giải thích

Ta có: $z_1^2+z_2^2=z_1{z}_2\iff z_1^2-z_1{z}_2+z_2^2=0$

$\Rightarrow z_1^3+z_2^3=(z_1+z_2)(z_1^2-z_1{z}_2+z_2^2)=0\iff z_1^3=-z_2^3\Rightarrow |z_1^3\left|=|z_2^3\right|\Rightarrow |z_1\left|={|z}_2\right|\Rightarrow OA=OB$

Mặt khác ${(z_1-z_2)}^2=(z_1^2-z_1{z}_2+z_2^2)-z_1{z}_2=-z_1{z}_2\Rightarrow {|z_1-z_2|}^2=|z_1\left|.|z_2\right|\Rightarrow A{B}^2=OA.OB=O{A}^2$

 đều.

Đáp án

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho elip có phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{4}+y^2=1$ và điểm $A\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ thuộc $\left(E\right)$.

Tiếp tuyến $d$ của $\left(E\right)$ tại $A$ có hệ số góc là $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Diện tích hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi ba đường: elip, đường thẳng $d$ và trục $Ox$ bằng $\sqrt{3}$ - $\frac{1}{3}$ $\pi$.

Giải thích

Phương trình nửa trên của elip $\left(E\right)$ là $y=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$ suy ra $y^{\prime }=\frac{-x}{4\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}$.

Phương trình tiếp tuyến với $\left(E\right)$ tại $A\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ là

$y=y^{\prime }\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)=\frac{-\sqrt{3}}{6}\left(x-1\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}$ hay $y=\frac{-\sqrt{3}}{6}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Đường thẳng $d$ cắt trục hoành tại $B\left(4;0\right)$. Hình phẳng $\left(H\right)$ có ba đỉnh $A,B$ và $C\left(2;0\right)$.

Kẻ $AK$ vuông góc với trục hoành, khi đó diện tích của hình $\left(H\right)$ là $S_{\left(H\right)}=S_{AKB}-S_1(S_1$ là diện tích giới hạn bởi $AK$, trục $Ox$ và $\left(E\right)$).

Oxy, cho elip có phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{4}+y^2=1$ và điểm $A\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ thuộc $\left(E\right)$. Tiếp tuyến $d$ của $\left(E\right)$ tại $A$ có hệ số góc là _______. Diện tích hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi ba đường: elip, đường thẳng $d$ và trục $Ox$ bằng _______ -_______$\pi$. (ảnh 2)">

Ta có: $AK=\frac{\sqrt{3}}{2},KB=3$ nên $S_{AKB}=\frac{1}{2}AK.KB=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Những điểm thuộc hình $\left(H\right)$ có tung độ $y\ge 0$ nên từ phương trình $\left(E\right)$ suy ra $y=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}$.

Do đó

Đặt $x=2\sin t$, ta tính được $S_1=\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}2\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}t\mathrm{d}t=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Vậy $S_{\left(H\right)}=S_{AKB}-S_1=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$.

Đáp án

Một cửa hàng điện máy có doanh số bán lẻ tivi mỗi năm là 2500 chiếc. Chi phí lưu kho của mỗi chiếc tivi là 200 nghìn đồng một năm. Để đặt hàng nhà sản xuất, mỗi lần cửa hàng cần đặt cọc cố định là 10 triệu đồng và sau khi nhập hàng thì cần trả thêm 3 triệu đồng mỗi chiếc tivi. Biết rằng số lượng tivi trung bình gửi trong kho bằng một nửa số tivi của mỗi lần đặt hàng. Cửa hàng nên đặt hàng nhà sản xuất (1) ___5___ lần mỗi năm và mỗi lần đặt (2) __500__ chiếc tivi để chi phí hàng tồn kho là thấp nhất.

Giải thích

Gọi $x$ là số tivi mỗi lần đặt hàng $\left(x\in \mathbb{N},x\in \left[1;2500\right]\right)$.

Khi đó, số lượng tivi trung bình gửi trong kho sẽ là $\frac{x}{2}$. Do đó, chi phí gửi hàng trong kho mỗi năm sẽ là $0,2.\frac{x}{2}=\frac{x}{10}$.

Số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là $\frac{2500}{x}$.

Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm sẽ là $\left(10+3x\right).\frac{2500}{x}=\frac{25000}{x}+7500$.

Suy ra, chi phí hàng tồn kho là $C\left(x\right)=\frac{x}{10}+\frac{25000}{x}+7500$.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $C\left(x\right)$ với $x\in \left[1;2500\right]$.

Ta có: $C^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{10}-\frac{25000}{x^2},C^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=500\\ x=-500\left(L\right)\end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy $\underset{\left[1;2500\right]}{\min }C\left(x\right)=C\left(500\right)=7600$

Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là $\frac{2500}{500}=5$ lần.

Vậy để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất thì cửa hàng cần đặt hàng 5 lần mỗi năm và 500 cái mỗi lần.

Đáp án

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ luôn cắt trục hoành tại 1 điểm.

Bất phương trình $f^{\prime }\left(x\right)<2$ có 3 nghiệm nguyên dương.

Giải thích

Tập xác định: $D=\left(0;+\infty \right)$.

Ta có: $f\left(x\right)=0\iff x\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{\pi }x=0\iff \mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{\pi }x=0\iff x=1$

Vậy đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ luôn cắt trục hoành tại 1 điểm.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{\pi }x+x.\frac{1}{x\ln \pi }=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{\pi }x+\frac{1}{\ln \pi }$.

Khi đó, $f^{\prime }\left(x\right)<2\iff \mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{\pi }x+\frac{1}{\ln \pi }<2\iff x<{\pi }^{2-\frac{1}{\ln \pi }}\approx 3,63$.

Vì $x$ nguyên dương nên $x\in \left\{1;2;3\right\}$.

Đáp án

Giải thích

y=f(x) có đồ thị như hình dưới. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai? (ảnh 2)">

+ Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có 2 điểm cực trị.

+ Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ giao với trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

+ Từ hình vẽ, ta thấy hàm số $y=f\left(x\right)$ giao với trục tung tại duy nhất 1 điểm có tung độ $y_0$ với $-3<y_0<0$.

+ Từ đồ thị hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ suy ra $f\left(x\right)=-2\iff [\begin{array}{l}x=x_1\\ x=x_2\\ x=x_3\end{array}$ với $x_1<x_2<0<x_3$.

Ta có: $f\left(x^2\right)+2=0\iff [\begin{array}{l}{x}^2=x_1\left(1\right)\\ x^2=x_2\left(2\right)\\ x^2=x_3\left(3\right)\end{array}$

Vì $x_1<x_2<0<x_3$ nên phương trình (1) và (2) vô nghiệm; phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình $f\left(x^2\right)+2=0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án

Giải thích

+) Thay $m=0$ ta được: $y=-x^3+9x+5$.

$y^{\prime }=-3x^2+9=0\iff x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$. Vậy hàm số có 2 cực trị.

+) $y=-x^3-m{x}^2+\left(4m+9\right)x+5$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=-3x^2-2mx+4m+9$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (với $y^{\prime }=0$ tại hữu hạn điểm)

$\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }\le 0\iff m^2+3\left(4m+9\right)\le 0\iff -9\le m\le -3$.

Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-9;-8;\dots ;-3\right\}$. Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$.

Đáp án

Giải thích

Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(BCD\right)$.

Do $\mathrm{\Delta }\perp \left(BCD\right)$ nên vectơ chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ trùng với vectơ pháp tuyến của $\left(BCD\right)$, tức là $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=\overrightarrow{n_{\left(BCD\right)}}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=\left(11;7;1\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(BCD\right)$ là $11x+7\left(y-1\right)+1\left(z-2\right)=0$ hay $11x+7y+z-9=0$.

Phương trình của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là  $\frac{x-1}{11}=\frac{y}{7}=\frac{z+1}{1}$.

Đáp án

Giải thích

Thể tích của hộp là $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 10^2.56=5600\pi \left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right)$.

Tổng chiều cao của $n$ quả bóng thả trong hộp là: $2nR=2n.10=20n$.

Ta có: $20n\le 56\iff n\le 2,8$.

Vậy hộp chỉ đựng được tối đa 2 quả bóng.

10cm và khoảng cách giữa hai đáy là $56\mathrm{cm}$. Thả các quả bóng có dạng hình cầu vào trong hộp sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện $ABCD$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai? Phát biểu ĐÚNG SAI Thể tích của hộp là $5600\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$.   Hộp đựng được tối đa 4 quả bóng.   Để diện tích $ABCD$ bằng $80\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ thì khoảng cách từ trục đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là $\frac{465}{49}\mathrm{cm}$.   (ảnh 1)">

Vì $\left(P\right)//O{O}^{\prime }$ nên $d\left(O{O}^{\prime };\left(P\right)\right)=d\left(O;\left(P\right)\right)=OH$ (với $H$ là trung điểm cạnh $AB$)

Ta có: $S_{ABCD}=80\iff AB.AD=80\iff AB=\frac{10}{7}\left(AD=h=56\right)$

$\iff 2BH=\frac{10}{7}\iff \sqrt{R^2-O{H}^2}=\frac{5}{7}\iff OH=\frac{5\sqrt{149}}{7}\left(\mathrm{cm}\right)$

Đáp án

Số cách xếp để ca I có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 3 công nhân là 17667936.

Số cách xếp để mỗi ca có 1 kĩ thuật viên và ít nhất một kĩ sư chế biến thực phẩm là 18162144.

Giải thích

Để ca I có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 3 công nhân, ta làm theo các bước:

+) Chọn 6 người ca I trong đó có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 3 công nhân có $C_3^1$.$C_4^2$.$C_{13}^3$ cách.

+) Chọn 7 người ca II có $C_{14}^7$ cách.

+) Chọn 7 người ca III có $C_7^7$ cách.

Vậy có $C_3^1$.$C_4^2$.$C_{13}^3$.$C_{14}^7.C_7^7=17667936$ cách.

- Để mỗi ca có 1 kĩ thuật viên và ít nhất một kĩ sư chế biến thực phẩm, ta có các trường hợp:

TH1.

Ca I có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 3 công nhân.

Ca II có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 5 công nhân.

Ca III có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 5 công nhân.

Số cách chọn cho trường hợp này là $\left(C_3^1.C_4^2.C_{13}^3\right).\left(C_2^1.C_2^1.C_{10}^5\right)\cdot \left(C_1^1.C_1^1.C_5^5\right)=5189184$.

TH2.

Ca I có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 4 công nhân.

Ca II có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 4 công nhân.

Ca III có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 5 công nhân.

Số cách chọn cho trường hợp này là $\left(C_3^1.C_4^1.C_{13}^4\right).\left(C_2^1.C_3^2.C_9^4\right).\left(C_1^1.C_1^1.C_5^5\right)=6486480$.

TH3.

Ca I có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 4 công nhân.

Ca II có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 5 công nhân.

Ca III có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 4 công nhân.

Số cách chọn cho trường hợp này là $\left(C_3^1.C_4^1.C_{13}^4\right).\left(C_2^1.C_3^1.C_9^5\right).\left(C_1^1.C_2^2.C_4^4\right)=6486480$.

Vậy có $5189184+6486480+6486480=18162144$ cách.