Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 19) – Phần 2

Đáp án

Có (1) ___4___ số phức $z$ thỏa mãn $\left|z^2\right|=2\left|z-\overline{z}\right|$ và $|\left(z-4\right)\left(\overline{z}-4i\right)\left|=\right|z+4i{|}^2$.

Giải thích

Ta có $\overline{z}-4i=\overline{z+4i}\Rightarrow \left|\overline{z}-4i\left|=\right|\overline{z+4i}\left|=\right|z+4i\right|$.

$$|\left(z-4\right)\left(\overline{z}-4i\right)\left|=\right|z+4i{|}^2\iff |z-4\left|.\right|\overline{z}-4i\left|=\right|z+4i{|}^2\iff |z-4\left|.\right|z+4i\left|=\right|z+4i{|}^2$$

$\iff [\begin{array}{c}\left|z+4i\right|=0\left(1\right)\\ \left|z-4\left|=\right|z+4i\right|\left(2\right)\end{array}$

Xét (1): $\left|z+4i\right|=0\iff z+4i=0\iff z=-4i\Rightarrow \overline{z}=4i$.

Khi đó $\{\begin{array}{c}{z}^2=-16\Rightarrow \left|z^2\right|=16\\ \left|z-\overline{z}\left|=\right|-8i\right|=8\end{array}$ suy ra $\left|z^2\right|=2\left|z-\overline{z}\right|$ (thỏa mãn yêu cầu bài toán).

Xét (2): $\left|z-4\left|=\right|z+4i\right|$

Giả sử $z=a+bi$, với $a,b\in \mathbb{R}$.

Ta có $\left(2\right)\iff (a-4{)}^2+b^2=a^2+(b+4{)}^2\iff b=-a$.

Hay $z=a-ai\Rightarrow z^2=-2a^{2}i\Rightarrow \left|z^2\right|=2a^2$ và $z-\overline{z}=-2ai\Rightarrow \left|z-\overline{z}\right|=2\left|a\right|$.

Khi đó $\left|z^2\right|=2\left|z-\overline{z}\right|\iff 2a^2=4\left|a\right|\iff [\begin{array}{c}a=0\\ a=\pm 2\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{c}z=0\\ z=2-2i.\\ z=-2+2i\end{array}$.

Vậy có 4 số phức $z=0,z=2-2i,z=-2+2i,z=-4i$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án

Giải thích

Ta có công thức tổng số tiền nhận được sau khi gửi hàng tháng là:

$T=\frac{M}{r}\left(1+r\right)\left[{(1+r)}^n-1\right]$ với $M$ là số tiền gửi hàng tháng, $r$ là lãi suất/kì hạn, $n$ là số kì hạn.

Áp dụng công thức ta có cuối tháng thứ 11 mẹ Việt Nam anh hùng nhận được số tiền là

${4.10}^6{(1+1\%)}^{11}+{4.10}^6{(1+1\%)}^{10}+\dots +{4.10}^6\left(1+1\%\right)=\frac{{4.10}^6}{1\%}\left(1+1\%\right){(1+1\%)}^{11}-1]$

$=46730012,05$ (đồng).

Vì đầu tháng 12 mẹ mới rút tiền nên mẹ được cộng thêm cả tiền lương của tháng 12 nữa nên tổng số tiền mẹ sẽ nhận được là: $46730012,05+4.10^6\approx 50730000$ (đồng).

Vậy số tiền lãi mẹ Việt Nam anh hùng nhận được là $50730000-4.10^6.12=2730000$ (đồng).

Đáp án

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho elip có phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{4}+y^2=1$ và điểm $A\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ thuộc $\left(E\right)$.

Tiếp tuyến $d$ của $\left(E\right)$ tại $A$ có hệ số góc là $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Diện tích hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi ba đường: elip, đường thẳng $d$ và trục $Ox$ bằng $\sqrt{3}$ - $\frac{1}{3}$π.

Giải thích

Phương trình nửa trên của elip $\left(E\right)$ là $y=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$ suy ra $y^{\prime }=\frac{-x}{4\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}$.

Phương trình tiếp tuyến với $\left(E\right)$ tại $A\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ là

$y=y^{\prime }\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)=\frac{-\sqrt{3}}{6}\left(x-1\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}$ hay $y=\frac{-\sqrt{3}}{6}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Đường thẳng $d$ cắt trục hoành tại $B\left(4;0\right)$. Hình phẳng $\left(H\right)$ có ba đỉnh $A,B$ và $C\left(2;0\right)$.

Kẻ $AK$ vuông góc với trục hoành, khi đó diện tích của hình $\left(H\right)$ là $S_{\left(H\right)}=S_{AKB}-S_1$ ($S_1$ là diện tích giới hạn bởi $AK$, trục $Ox$ và $\left(E\right)$).

Oxy, cho elip có phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{4}+y^2=1$ và điểm $A\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ thuộc $\left(E\right)$. Tiếp tuyến $d$ của $\left(E\right)$ tại $A$ có hệ số góc là _______. Diện tích hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi ba đường: elip, đường thẳng $d$ và trục $Ox$ bằng _______ - _______π. (ảnh 2)">

Ta có: $AK=\frac{\sqrt{3}}{2},KB=3$ nên $S_{AKB}=\frac{1}{2}AK.KB=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Những điểm thuộc hình $\left(H\right)$ có tung độ $y\ge 0$ nên từ phương trình $\left(E\right)$ suy ra $y=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}$. Do đó

Đặt $x=2\sin t$, ta tính được $S_1=\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}2\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}t\mathrm{d}t=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Vậy $S_{\left(H\right)}=S_{AKB}-S_1=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$.

Đáp án

Giải thích

Phương trình tham số $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=1+t\end{array}\Rightarrow I(1+2t;3-t;1+t)\in d$.

Vì $I=d\cap \left(P\right)$ nên ta có: $2\left(1+2t\right)-3\left(3-t\right)+1+t-2=0\iff t=1$

$\Rightarrow I\left(3;2;2\right)$.

Đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=\left(2;-1;1\right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(2;-3;1\right)$.

Sin góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ là $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}|}{|\overrightarrow{u_d}|.|\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}|}=\frac{4\sqrt{21}}{21}$.

$\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-\mathrm{si}{\mathrm{n}}^2\alpha }=\frac{\sqrt{105}}{21}$.

Đáp án

Có (1) ___6___ giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=x^3-\frac{5}{2}{x}^2-2x+1-m$ có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.

Giải thích

Ta có $y^{\prime }=3x^2-5x^2-2$. Khi đó: $y^{\prime }=0\iff 3x^2-5x^2-2=0\iff [\begin{array}{c}x=2\\ x=-\frac{1}{3}\end{array}$.

Với $x=2$ thì $y=-5-m$.

Với $x=-\frac{1}{3}$ thì $y=\frac{73}{54}-m$.

Hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu khi $\left(-5-m\right)\left(\frac{73}{54}-m\right)<0\iff -5<m<\frac{73}{54}$.

Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-4;-3;-2;-1;0;1\right\}$.

Vậy có 6 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Đáp án

Giải thích

$\sqrt[3]{a^{{\left(\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}7\right)}^2}}=\sqrt[3]{{\left(a^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}7}\right)}^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}7}}=\sqrt[3]{{27}^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}7}}=\sqrt[3]{{\left(3^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}7}\right)}^3}=7$.

$\sqrt{b^{{\left(\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{7}11\right)}^2}}=\sqrt{{\left(b^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{7}11}\right)}^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{7}11}}=\sqrt{{49}^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{7}11}}=\sqrt{{\left(7^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{7}11}\right)}^2}=11$.

$c^{{\left(\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{11}25\right)}^2}={\left(c^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{11}25}\right)}^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{11}25}=(\sqrt{11}{)}^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{11}25}=\sqrt{{11}^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{11}25}}=\sqrt{25}=5$.

Vậy $\sqrt[3]{a^{{\left(\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}7\right)}^2}}+\sqrt{b^{{\left(\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{7}11\right)}^2}}+c^{{\left(\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{11}25\right)}^2}=7+11+5=23$.

Đáp án

Phần ảo của số phức $z$ là 2 .

Điểm biểu diễn số phức $w=2z+{\bar{z}}^2$ có hoành độ bằng -1  và tung độ bằng 0 .

Giải thích

Vì $\bar{z}=1-2i\Rightarrow z=\bar{z}=1+2i$. Phần ảo của $z$ là 2 .

$w=2z+{\bar{z}}^2=2\left(1+2i\right)+(1-2i{)}^2=-1$. Điểm biểu diễn của $w$ là $M\left(-1;0\right)$.

Đáp án

Có 17576 tên miền gồm ba kí tự đều là chữ cái tiếng Anh?

Có 1669616 tên miền gồm bốn kí tự (chữ cái tiếng Anh và chữ số) trong đó có ít nhất một kí tự là chữ cái tiếng Anh?

Tính đến tháng 4 năm 2006, có 97786 tên miền gồm 4 kí tự (chữ cái tiếng Anh và chữ số) vẫn chưa được xác nhận quyền sở hữu. Nếu một tên miền gồm bốn ký tự được chọn ngẫu nhiên, xác suất mà nó đã được sở hữu là 0,942.(Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

Giải thích

Có 26 chữ cái tiếng Anh nên số tên miền gồm ba kí tự đều là chữ cái tiếng Anh là: $26^3=17576.$

Có 26 chữ cái tiếng Anh và 10 chữ số nên số tên miền gồm bốn kí tự là: $(26+10{)}^4=1679616.$

Số tên miền gồm bốn kí tự là chữ số là: $10^4=10000$.

Vậy có 1679616 - $10000=1669616$ tên miền gồm bốn kí tự (chữ cái tiếng Anh và chữ số) trong đó có ít nhất một kí tự là chữ cái tiếng Anh.

Xác suất để tên miền gồm bốn kí tự đã được sở hữu là: $1-\frac{97786}{1679616}\approx 0,942$

Đáp án

Giải thích

+) Thay $m=0$ ta được: $y=-x^3+9x+5$.

$y^{\prime }=-3x^2+9=0\iff x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$. Vậy hàm số có 2 cực trị.

+) $y=-x^3-m{x}^2+\left(4m+9\right)x+5$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=-3x^2-2mx+4m+9$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (với $y^{\prime }=0$ tại hữu hạn điểm)

$\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }\le 0\iff m^2+3\left(4m+9\right)\le 0\iff -9\le m\le -3$.

Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-9;-8;\dots ;-3\right\}$. Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$.

Đáp án

Giải thích

Đọc nội dung đoạn [7] và so sánh với các nhận định trong câu hỏi.

a. Microsoft gần đây đã thông báo rằng họ sẽ hợp tác với Tập đoàn BMW để chuyển sang các hoạt động sản xuất thông minh hơn.

b. Không có thông tin trong văn bản.

c. ứng dụng công nghệ IoT vẫn còn một số trở ngại cần phải vượt qua.

d. các công nhân cũng cần trải qua quá trình đào tạo kỹ lưỡng về cách vận dụng IoT.