Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 15)

Đáp án

a) Hàm số $$f\left(x\right)$$ có 5,84 cực trị.

b) Đặt $$g\left(x\right)=f\left(x\right)+4x$$. Khi đó hàm số $$g\left(x\right)$$ đồng biến trên khoảng (-∞;2) và nghịch biến trên khoảng (2;+∞)

Phương pháp giải

a) Tính số nghiệm của $$f\prime \left(x\right)=0$$

b) Xét $$g\left(x\right)=f\left(x\right)+4x$$.

Lời giải

Dễ thấy $$f\prime \left(x\right)=0$$ có đúng 1 nghiệm bội lẻ duy nhất a < −1 nên hàm số $$f\left(x\right)$$ có đúng 1 cực trị.

Xét $$g\left(x\right)=f\left(x\right)+4x$$.

Ta có: $$g\prime \left(x\right)=f\prime \left(x\right)+4=0\iff f\prime \left(x\right)=-4$$

Lập bảng xét dấu của $$g\prime \left(x\right)$$

$f\left(x\right)$ xác định trên R và có đồ thị hàm số $$f^{\prime }\left(x\right)$$ là đường cong như hình bên dưới. (ảnh 3)">

Vậy hàm số $$g\left(x\right)$$ đồng biến trên khoảng (−∞;2) và nghịch biến trên khoảng (2;+∞).

Đáp án

Phương pháp giải

in bằng 1 nếu n chia hết cho 4.

in bằng i nếu n chia cho 4 dư 1.

in bằng −1 nếu n chia cho 4 dư 2.

in bằng −i nếu n chia cho 4 dư 3.

Lời giải

Ta có: ${\mathrm{u}}_6=(-\mathrm{i}{)}^6={\mathrm{i}}^6={\mathrm{i}}^4.{\mathrm{i}}^2={\mathrm{i}}^2=-1$ là một số thực.

⇒Phát biểu 1 đúng.

${\mathrm{S}}_6=\frac{1-{\mathrm{q}}^7}{1-\mathrm{q}}=\frac{1-{(-\mathrm{i})}^7}{1-(-\mathrm{i})}=\mathrm{i}$ là một số ảo ⇒Phát biểu 2 sai.

${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=1\iff \frac{1-{(-\mathrm{i})}^{\mathrm{n}+1}}{1+\mathrm{i}}=1\iff 1-(-\mathrm{i}{)}^{\mathrm{n}+1}=1+\mathrm{i}$

$(-\mathrm{i}{)}^{\mathrm{n}+1}=-\mathrm{i}\iff (-\mathrm{i}{)}^{\mathrm{n}}=1\iff$ n chia hết cho 4.

⇒Phát biểu 3 sai.

Đáp án

Phương pháp giải

Giải các phương trình và áp dụng định nghĩa đường tiệm cận.

Lời giải

$|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=1\iff [\begin{array}{l}\mathrm{f}(\mathrm{x})=1\\ \mathrm{f}(\mathrm{x})=-1\end{array}$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=1$ có 1 nghiệm và $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-1$ có 1 nghiệm.

$\Rightarrow$ Phương trình $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=1$ có 2 nghiệm phân biệt.

Ta thấy $\underset{\mathrm{x}\to -2^{-}}{\lim }\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\infty ;\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{f}(\mathrm{x})=+\infty$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có 2 đường tiệm cận đứng là $\mathrm{y}=-2;\mathrm{y}=2$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

$\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{2}{3.(-1)-2}=-\frac{2}{5}$

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{2}{3.1-2}=2$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang.

Xét phương trình $3\mathrm{f}(\mathrm{x})-2=0\iff \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2}{3}$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: phương trình $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2}{3}$ có duy nhất một nghiệm. Vậy hàm số có 3 đường tiệm cận.