Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 10)

Đáp án “9”

Giải thích

Để cất hết toàn bộ số bưu thiếp anh Dũng cần quyển album có tối thiểu 36 : 2 : 2 = 9 (tờ).

Giải thích

Số điểm của Minh là: 3.5 − 12 + 3 = 6.

Số điểm của Thành là: 2.(−3) − 1 + 6 + 7 = 6.

Vậy hai bạn hòa nhau.

Phát biểu	Đúng	Sai
Hàm số $f\left(x\right)$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.	¡	¤
Hàm số $f\left(x\right)$ là hàm số chẵn	¡	¤
Phương trình $f\left(x\right)$= 0 có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.	¤	¡

Phát biểu	Đúng	Sai
$$F(x)=G(x)+C$$ với C là hằng số	¤	¡
$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(a)-F(b)$	¡	¤

Giải thích

Vì $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $F(x)-G(x)=C$ với $C$ là hằng số hay $F(x)=G(x)+C$.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x={F(x)|}_a^b=F(b)-F(a).$

Một xe dịch vụ chất lượng cao đi từ Hà Giang xuống Hà Nội chở được nhiều nhất 50 hành khách trên một chuyến đi. Theo tính toán của nhà xe, nếu xe chở được k khách thì giá tiền mà mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là ${\left(180-\frac{3k}{2}\right)}^2$ trăm đồng. Tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất là 57600 nghìn đồng khi xe chở 40 hành khách.

Giải thích

Số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là $T(k)=k{\left(180-\frac{3k}{2}\right)}^2$ với $k\in \mathbb{N},0\le k\le 50$.

Xét hàm số $T(k)=k{\left(180-\frac{3k}{2}\right)}^2$ với $k\in [0;50]$.

Ta có $T^{\prime }(k)={\left(180-\frac{3k}{2}\right)}^2+2k\left(180-\frac{3k}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)=\left(180-\frac{3k}{2}\right)\left(180-\frac{9k}{2}\right)$ và

$T^{\prime }(k)=0\iff \left(180-\frac{3k}{2}\right)\left(180-\frac{9k}{2}\right)=0\iff [\begin{array}{c}k=120\notin [0;50]\\ k=40\in [0;50]\end{array}$.

Ta tính được $T(0)=0,T(50)=551250,T(40)=576000$.

Do đó $\underset{[0;50]}{\max }T(k)=T(40)=576000$.

Vậy số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở 40 hành khách và số tiền đó là 57 600 000 đồng.

Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng 330 cm3, bán kính đáy x cm, chiều cao ℎ cm. Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau :

Để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất thì bán kính x bằng 3,745 cm và chiều cao ℎ bằng 7,490 cm.

(Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Giải thích

Ta có: $V=\pi x^{2}h$.

Theo giả thiết thể tích hình trụ bằng $330\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ nên $V=330\iff \pi x^{2}h=330\iff h=\frac{330}{\pi x^2}$

Chi phí sản xuất là thấp nhất khi diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất.

Ta có: $S_{tp}=S_{xq}+2.S_d=2\pi xh+2\pi x^2=2\pi \left(x^2+\frac{330}{\pi x}\right)$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:

$x^2+\frac{330}{\pi x}=x^2+\frac{165}{\pi x}+\frac{165}{\pi x}\ge 3\sqrt[3]{\frac{27225.x^2}{{\pi }^2.x^2}}=3\sqrt[3]{\frac{27225}{{\pi }^2}}$

Dấu bằng xảy ra khi $x^2=\frac{165}{\pi x}\iff x=\sqrt[3]{\frac{165}{\pi }}\approx 3,745.$

Để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất cần sản xuất hộp với kích thước $h\approx 7,490\mathrm{cm}$ và $x\approx 3,745\mathrm{cm}$.

Đồ thị hàm số $y=f(x+a)$ luôn có 2  điểm cực trị.

Đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ có 3  điểm cực trị.

Có 1  giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(\cos x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left(0;\frac{3\pi }{2}\right]$.

Giải thích

+) Tịnh tiến đồ thị hàm số $y=f(x)$ sang trái $a$ đơn vị ta có đồ thị hàm số $y=f(x+a)$. Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x+a)$ bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Hay đồ thị hàm số $y=f(x+a)$ luôn có 2 điểm cực trị.

+) Số điểm cực trị đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ bằng $2k+1$ với $k$ là số điểm cực trị dương của hàm số $y=f(x)$. Hay đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ có 3 điểm cực trị.

+) Đặt $t=\cos x$ thì $x\in \left(0;\frac{3\pi }{2}\right]\Rightarrow t\in [-1;1)$

Với một nghiệm $t\in (-1;0]$ cho tương ứng được 2 nghiệm $x\in \left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]\backslash \{\pi \}$

Với một nghiệm $t\in (0;1)\cup \{-1\}$ cho tương ứng 1 nghiệm $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\cup \{\pi \}$

Do đó $f(\cos x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left(0;\frac{3\pi }{2}\right]$

$\iff f(t)=m$ có 2 nghiệm $t_1\in (-1;0]$ và $t_2\in (0;1)\cup \{-1\}$

Dựa vào đồ thị, ycbt $\iff m\in (0;2)$.

Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=1$ hay có 1 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.