Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 Trường trung học thực hành ĐHSP (TP.HCM) có đáp án

a) $\tan \left(3x\right)-\frac{\sqrt{3}}{-3}=0$

Điều kiện xác định: $3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Phương trình tương đương: $\tan \left(3x\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}=0\iff \tan \left(3x\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$\iff \tan \left(3x\right)=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff 3x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Đối chiếu điều kiện xác định thấy thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)-\cos x=0$

Phương trình tương đương: $\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)=\cos x\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff [\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{5}=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff [\begin{array}{l}3x=\frac{7\pi }{10}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{10}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff [\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{30}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{7\pi }{10}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\frac{7\pi }{30}+\frac{k2\pi }{3};\frac{7\pi }{10}+k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Ta có tính chất của hàm số cosin: $-1\le \cos \left(\frac{\pi t}{36}\right)\le 1$ với mọi $t>0$.

Suy ra giá trị lớn nhất của độ cao $H\left(t\right)$ là: $H_{\max }=15\cdot 1+22=37(\mathrm{m}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t})$.

Độ cao đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: $\cos \left(\frac{\pi t}{36}\right)=1\iff \frac{\pi t}{36}=k2\pi \iff t=72k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vì bài toán yêu cầu tìm thời điểm đầu tiên kể từ lúc bắt đầu quay nên ta cần tìm giá trị $t$ dương nhỏ nhất, ứng với $k=1$: $t=72\cdot 1=72(\mathrm{gi}\hat{\mathrm{a}}\mathrm{y})$

Vậy sau $72$ giây thì đỉnh cánh quạt đạt độ cao lớn nhất lần đầu tiên.

a) Giao tuyến của \(\left( {IAC} \right)\) và $\left(SBD\right)$:

Xét hai mặt phẳng $\left(IAC\right)$ và $\left(SBD\right)$, ta có:

Điểm $I$ là trung điểm của $SB\Rightarrow I\in SB\subset \left(SBD\right)$. Mà $I\in \left(IAC\right)$ nên $I$ là điểm chung thứ nhất.

Trong mặt phẳng đáy $\left(ABCD\right)$, có $O$ là tâm hình bình hành $\Rightarrow O=AC\cap BD$.

Vì $O\in AC\subset \left(IAC\right)$ và $O\in BD\subset \left(SBD\right)$ nên $O$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(IAC\right)$ và $\left(SBD\right)$ là đường thẳng $IO$.

b) Giao tuyến của $\left(IAC\right)$ và $\left(SCD\right)$:

Điểm $C$ thuộc cạnh $SC\subset \left(SCD\right)$ và đồng thời $C\in \left(IAC\right)$ nên $C$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left(IAC\right)$ và $\left(SCD\right)$.

Xét tam giác $SBD$, ta có $I$ là trung điểm của $SB$, $O$ là trung điểm của $BD$ (do $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$).

Suy ra $IO$ là đường trung bình của tam giác $SBD\Rightarrow IO//SD$.

Hai mặt phẳng $\left(IAC\right)$ và $\left(SCD\right)$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song là $IO$ (thuộc $\left(IAC\right)$) và $SD$ (thuộc $$\left(SCD\right)$$), đồng thời chúng có điểm chung là $C$.

Theo tính chất giao tuyến, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng $d$ đi qua $C$ và song song với cả $IO$ và $SD$.

c) Chứng minh $IT//AD$

Xét trong tam giác $SBC$, ta có $I$ và $T$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $SB$ và $SC$.

Suy ra $IT$ là đường trung bình của .

Do đáy $ABCD$ là hình bình hành nên ta có $BC//AD$.

Từ đó suy ra $IT//AD$ (đpcm).

d) Giao điểm của $AI$ và $\left(BDT\right)$

Trong mặt phẳng đáy $\left(ABCD\right)$, gọi $O=AC\cap BD$.

Xét tam giác $SAC$, vì $O$ và $T$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $SC$ nên $TO$ là đường trung bình của .

Xét hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(BDT\right)$ có $B$ là điểm chung, lần lượt chứa hai đường thẳng $SA$ và $TO$ song song với nhau. Do đó, giao tuyến của $\left(SAB\right)$ và $\left(BDT\right)$ là đường thẳng $Bx$ đi qua $B$ và $Bx//SA//TO$.

Chọn mặt phẳng phụ $\left(SAB\right)$ chứa $AI$. Trong mặt phẳng $\left(SAB\right)$, gọi $K$ là giao điểm của $AI$ và $Bx$ ($K=AI\cap Bx$).

Ta có:

$K\in AI$;

$K\in Bx$, mà $Bx\subset \left(BDT\right)\Rightarrow K\in \left(BDT\right)$.

Vậy $K$ chính là giao điểm của đường thẳng $AI$ và mặt phẳng $\left(BDT\right)$.