Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ (góc thuộc góc phần tư thứ II) nên ta có $\cos x<0$.

Áp dụng hệ thức lượng cơ bản: $\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x=1-\mathrm{si}{\mathrm{n}}^{2}x=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}\Rightarrow \cos x=-\frac{4}{5}$.

Tính các giá trị lượng giác còn lại: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$; $\cot x=\frac{1}{\tan x}=-\frac{4}{3}$.

Để độ sâu mực nước bằng $7\mathrm{cm}$, ta giải phương trình:

$3\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+10=7\iff 3\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=-3\iff \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=-1$

$\iff \frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=\pi +k2\pi \iff \frac{\pi t}{12}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff t=8+24k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vì thời gian xét trong một ngày nên điều kiện là $0\le t\le 24$:

$0\le 8+24k\le 24\iff -8\le 24k\le 16\iff -\frac{1}{3}\le k\le \frac{2}{3}$

Do $k\in \mathbb{Z}$ nên chỉ có giá trị $k=0$ thỏa mãn $\Rightarrow t=8$.

Vậy vào thời điểm 8 giờ sáng trong ngày thì độ sâu của mực nước trong kênh đạt $7\mathrm{cm}$.

a) Xét hai mặt phẳng $\left(MNP\right)$ và $\left(BCD\right)$:

- Ta có điểm $P\in BD$, mà $BD\subset \left(BCD\right)\Rightarrow P\in \left(BCD\right)$. Do $P\in \left(MNP\right)$ nên $P$ là điểm chung thứ nhất.

- Trong mặt phẳng $\left(ABC\right)$, xét hai đường thẳng $MN$ và $BC$. Do $M$ là trung điểm của $AB$$\left(\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}\right)$ và $N$ thỏa mãn $\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{AM}{AB}\ne \frac{AN}{AC}$. Suy ra $MN$ không song song với $BC$, gọi $K=MN\cap BC$.

- Vì $K\in MN\subset \left(MNP\right)$ và $K\in BC\subset \left(BCD\right)$ nên $K$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(MNP\right)$ và $\left(BCD\right)$ là đường thẳng $PK$.

b) Trong mặt phẳng $\left(BCD\right)$, gọi $Q=PK\cap CD$. Vì $PK\subset \left(MNP\right)$ nên $Q=CD\cap \left(MNP\right)$.

Để tính tỉ số $\frac{QC}{QD}$, ta áp dụng định lý Menelaus:

- Trước hết, xét  với cát tuyến $M,N,K$ thẳng hàng ta có: $\frac{MA}{MB}\cdot \frac{KB}{KC}\cdot \frac{NC}{NA}=1$.

Do $M$ là trung điểm $AB\Rightarrow \frac{MA}{MB}=1$. Do $AN=2NC\Rightarrow \frac{NC}{NA}=\frac{1}{2}$.

Thay vào ta được: $1\cdot \frac{KB}{KC}\cdot \frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{KB}{KC}=2\Rightarrow C$ là trung điểm của $BK$.

- Tiếp theo, xét  với cát tuyến $K,Q,P$ thẳng hàng ta có: $\frac{KB}{KC}\cdot \frac{QC}{QD}\cdot \frac{PD}{PB}=1$.

Theo giả thiết $BD=3PD\Rightarrow PB=2PD\Rightarrow \frac{PD}{PB}=\frac{1}{2}$.

Khi đó $2\cdot \frac{QC}{QD}\cdot \frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{QC}{QD}=1$.

Vậy tỉ số $\frac{QC}{QD}=1$ (hay $Q$ là trung điểm của cạnh $CD$).