Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Trần Phú (Hà Nội) có đáp án

Sử dụng công thức phụ nhau để chuyển đổi hàm sin về hàm cos: $\sin \theta =\cos \left(90^{\circ }-\theta \right)$.

$\sin \left(50^{\circ }-x\right)=\cos \left(90^{\circ }-\left(50^{\circ }-x\right)\right)=\cos \left(40^{\circ }+x\right)$.

Phương trình ban đầu tương đương với: $\cos \left(2x+20^{\circ }\right)=\cos \left(x+40^{\circ }\right)$

$\iff [\begin{array}{rr}2x+20^{\circ }& =x+40^{\circ }+k360^{\circ }\\ 2x+20^{\circ }& =-\left(x+40^{\circ }\right)+k360^{\circ }\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Trường hợp 1: $2x-x=40^{\circ }-20^{\circ }+k360^{\circ }\iff x=20^{\circ }+k360^{\circ }$.

Trường hợp 2: $2x+20^{\circ }=-x-40^{\circ }+k360^{\circ }\iff 3x=-60^{\circ }+k360^{\circ }\iff x=-20^{\circ }+k120^{\circ }$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=20^{\circ }+k360^{\circ }$; $x=-20^{\circ }+k120^{\circ }$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$. Đây là tập đối xứng vì với mọi $x\in D$ thì $-x\in D$.

Xét $f\left(-x\right)$ ta có: $f\left(-x\right)=\left(-x\right)\cdot \sin \left(3\left(-x\right)\right)=\left(-x\right)\cdot \sin \left(-3x\right)$$=\left(-x\right)\cdot \left(-\sin 3x\right)=x\sin 3x=f\left(x\right)$.

Vì $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ nên hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^{\circ }$ (hay $\pi$ radian) nên $A+B+C=\pi$.

Biến đổi vế trái (VT) của đẳng thức cần chứng minh:

$\mathrm{VT}=\cos \left(A+B+2C\right)=\cos \left(\left(A+B+C\right)+C\right)=\cos \left(\pi +C\right)$.

Sử dụng tính chất của hai góc hơn kém nhau $\pi$: $\cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha$. Ta được:

$\text{VT}=-\text{cos}C=\text{VP(đpcm)}$

Ta xét hai trường hợp của số nguyên $k$:

Trường hợp 1: $k$ là số chẵn ($k=2m,m\in \mathbb{Z}$):

$\sin \left(\frac{\pi }{4}+2m\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Trường hợp 2: $k$ là số lẻ ($k=2m+1,m\in \mathbb{Z}$):

$\sin \left(\frac{\pi }{4}+\left(2m+1\right)\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+\pi +2m\pi \right)=\sin \left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Gộp hai trường hợp lại, ta có kết quả tổng quát: $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)={\left(-1\right)}^k\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Đây là bài toán ứng dụng công thức tăng trưởng mũ: $N=N_0\cdot {\left(1+r\right)}^t$.

Trong đó: $N_0=97,58$ (triệu người); $r=1,14\%=0,0114$; $t=2025-2020=5$ (năm).

Dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 ước tính là:

$N=97,58\cdot {\left(1+0,0114\right)}^5=97,58\cdot {\left(1,0114\right)}^5\approx 103,27$.

Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $103$ triệu người.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ bức tường xuống mặt đất phẳng nằm ngang. Khi đó:

Khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là đoạn $AH=x$ ($x>0$).

Độ cao mục tiêu $B$ là $BH=40\mathrm{m}$.

Độ cao mục tiêu $C$ là $CH=90\mathrm{m}$.

Xét các tam giác vuông $AHB$ và $AHC$ vuông tại $H$:

           $\tan \alpha =\frac{BH}{AH}=\frac{40}{x}$;

          $\tan 2\alpha =\frac{CH}{AH}=\frac{90}{x}$.

Sử dụng công thức nhân đôi cho hàm tang: $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-\mathrm{ta}{\mathrm{n}}^2\alpha }$.

Thay các tỉ số lượng giác vừa tìm được ở trên vào công thức:

$\frac{90}{x}=\frac{2\cdot \frac{40}{x}}{1-{\left(\frac{40}{x}\right)}^2}$$\iff \frac{90}{x}=\frac{\frac{80}{x}}{1-\frac{1600}{x^2}}$.

Vì $x>0$, ta rút gọn bớt $\frac{1}{x}$ ở cả hai vế:

$90=\frac{80}{1-\frac{1600}{x^2}}$$\iff 90\left(1-\frac{1600}{x^2}\right)=80$$\iff 1-\frac{1600}{x^2}=\frac{80}{90}=\frac{8}{9}$$\iff \frac{1600}{x^2}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$

$\iff x^2=1600\cdot 9=14400\Rightarrow x=\sqrt{14400}=120\mathrm{m}\left(\mathrm{do}x>0\right)$

Vậy khoảng cách từ vận động viên đến bức tường bằng $120\mathrm{m}$.