Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phan Đình Phùng (Hà Nội) có đáp án

Áp dụng công thức nhân đôi: $P=\cos 2\alpha =2\mathrm{co}{\mathrm{s}}^2\alpha -1$.

Thay số vào biểu thức ta được: $P=2\cdot {\left(-\frac{2}{5}\right)}^2-1=2\cdot \frac{4}{25}-1=\frac{8}{25}-1=-\frac{17}{25}$.

Vậy $P=-\frac{17}{25}$.

a) Biến đổi phương trình về dạng cơ bản:

      $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)$

      $\iff [\begin{array}{rr}x-\frac{\pi }{6}& =\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{6}& =-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{rr}x& =\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x& =-\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{rr}x& =\frac{11\pi }{12}+k2\pi \\ x& =-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy tập nghiệm phương trình là $S=\left\{\frac{11\pi }{12}+k2\pi ;-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Chuyển vế phương trình:

      $\sin 3x=\sin x\iff [\begin{array}{rr}3x& =x+k2\pi \\ 3x& =\pi -x+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{rr}2x& =k2\pi \\ 4x& =\pi +k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{rr}x& =k\pi \\ x& =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy tập nghiệm phương trình là $S=\left\{k\pi ;\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Công bội $q$ của cấp số nhân được tính bằng: $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{6}{2}=3$.

Số hạng thứ 6 của cấp số nhân, áp dụng công thức số hạng tổng quát ta được:

      $u_6=u_1\cdot q^5=2\cdot 3^5=2\cdot 243=486$.

Vậy công bội $q=3$ và số hạng $u_6=486$.

Gọi $h_n$ là độ cao của thửa ruộng ở bậc thứ $n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Theo đề bài, ta có thông số các bậc đầu tiên:

- Bậc thứ nhất: $h_1=953,4\mathrm{m}$.

- Bậc thứ hai: $h_2=h_1+2=953,4+2=955,4\mathrm{m}$.

Kể từ bậc thứ 3 trở lên, độ cao tăng đều $0,7\mathrm{m}$ so với bậc ngay dưới nó. Quy luật này lập thành một cấp số cộng kể từ số hạng $h_2$ với công sai $d=0,7$.

Do đó, công thức tính độ cao của thửa ruộng ở bậc thứ $n$ (với $n\ge 2$) là:

      $h_n=h_2+\left(n-2\right)\cdot d=955,4+\left(n-2\right)\cdot 0,7$

Để tìm xem độ cao $964,5\mathrm{m}$ tương ứng với bậc thứ mấy, ta giải phương trình:

      $955,4+\left(n-2\right)\cdot 0,7=964,5$

      $\iff \left(n-2\right)\cdot 0,7=964,5-955,4=9,1$

      $\iff n-2=\frac{9,1}{0,7}=13\iff n=15$.

Vậy thửa ruộng cao $964,5\mathrm{m}$ là thửa ruộng ở bậc thứ 15.

Yêu cầu bài toán tương đương với việc giải phương trình $P\left(t\right)=110$ trên khoảng $\left(0;1\right)$:

      $100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=110\iff 20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=10\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=\frac{1}{2}$

      $\iff [\begin{array}{rr}\frac{7\pi }{3}t& =\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{7\pi }{3}t& =\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{rr}t& =\frac{1}{14}+\frac{6k}{7}\left(1\right)\\ t& =\frac{5}{14}+\frac{6k}{7}\left(2\right)\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Xét điều kiện thời gian thuộc đoạn $0\le t\le 1$:

- Từ họ nghiệm (1):

+ Với $k=0\Rightarrow t=\frac{1}{14}\approx 0,07\mathrm{gi}\hat{\mathrm{a}}\mathrm{y}$ (Thỏa mãn).

+ Với $k=1\Rightarrow t=\frac{1}{14}+\frac{6}{7}=\frac{13}{14}\approx 0,93\mathrm{gi}\hat{\mathrm{a}}\mathrm{y}$ (Thỏa mãn).

- Từ họ nghiệm (2):

+ Với $k=0\Rightarrow t=\frac{5}{14}\approx 0,36\mathrm{gi}\hat{\mathrm{a}}\mathrm{y}$ (Thỏa mãn).

+ Với $k=1\Rightarrow t=\frac{5}{14}+\frac{6}{7}=\frac{17}{14}>1$ (Loại).

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, các thời điểm huyết áp đạt 110 mmHg là: $t\approx 0,07\mathrm{s}$, $t\approx 0,36\mathrm{s}$ và $t\approx 0,93\mathrm{s}$.