Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Tân Bình (TP.HCM) có đáp án

Ta biến đổi phương trình về dạng cơ bản: $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Vì $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, phương trình tương đương với: $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$.

Áp dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác của hàm sin, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:

$2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Trường hợp 2:

$2x+\frac{\pi }{3}=\pi -\left(-\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \iff 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{-\frac{\pi }{3}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Ta tiến hành phân tích số que diêm cần dùng theo từng tầng từ trên xuống dưới:

Tầng 1 (trên cùng):  Tổng số diêm cho tầng 1 là $u_1=3$ que diêm.

Tầng 2: Số diêm cần thêm cho riêng tầng 2 là $u_2=7$ que.

Tầng 3: Số diêm cần thêm cho riêng tầng 3 là $u_3=11$ que.

Tổng quát, số lượng que diêm bổ sung cho tầng thứ $n$ lập thành một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và công sai $d=4$.

Tổng số que diêm để hoàn thành một tháp gồm có $10$ tầng chính là tổng của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng này: $S_{10}=\frac{10}{2}\cdot \left[2u_1+\left(10-1\right)d\right]=5\left(2\cdot 3+9\cdot 4\right)=210$.

Vậy để xếp được tháp có $10$ tầng, bạn An cần dùng tất cả 210 que diêm.

S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $\left(AGC\right)$ và mặt phẳng $\left(SBC\right)$. (ảnh 1)">

Xét hai mặt phẳng $\left(AGC\right)$ và $\left(SBC\right)$:

Tìm điểm chung thứ nhất: Ta thấy ngay điểm $C$ đều thuộc cả hai mặt phẳng $\left(AGC\right)$ và $\left(SBC\right)$, tức là $C\in \left(AGC\right)\cap \left(SBC\right)$.

Tìm điểm chung thứ hai:

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$. Do $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, nên điểm $G$ phải thuộc đường trung tuyến $CM$, kéo theo $G\in \left(ACM\right)$. Vậy mặt phẳng $\left(AGC\right)$ thực chất chính là mặt phẳng $\left(AMC\right)$.

Bây giờ việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(AGC\right)$ và $\left(SBC\right)$ quy về tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(AMC\right)$ và $\left(SBC\right)$.

Ta tìm giao điểm của $AM$ với mặt phẳng $\left(SBC\right)$:

$ABCD$ là hình bình hành nên $AD//BC$. Mặt phẳng $\left(SAD\right)$ và $\left(SBC\right)$ có chung điểm $S$ và chứa hai đường thẳng song song $AD//BC$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $Sx$ song song với $AD$ và $BC$.

Trong mặt phẳng $\left(SAD\right)$, kéo dài $AM$ cắt đường thẳng giao tuyến $Sx$ tại điểm $P$.

Vì $P\in Sx\subset \left(SBC\right)$ nên $P\in \left(SBC\right)$. Mặt khác $P\in AM\subset \left(AMC\right)\equiv \left(AGC\right)$.

Do đó $P$ là điểm chung thứ hai của hai mặ phẳng $\left(AGC\right)$ và $\left(SBC\right)$.

Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(AGC\right)$ và $\left(SBC\right)$ là đường thẳng $CP$.