Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Phong Phú (TP.HCM) có đáp án

a) Ta có $${\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{7}{16}$$. Suy ra $$\cos a=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$$.

Vì $0<a<\frac{\pi }{2}$ nên $\cos a>0$, do đó $$\cos a=\frac{\sqrt{7}}{4}$$.

Khi đó ta có, $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$; $\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{\sqrt{7}}{3}$.

b) Ta có $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=-\frac{1}{8}$.

a) $\cos x=\frac{1}{2}$

$\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{3}$

$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) $\tan 2x=1$

$\iff \tan 2x=\tan \frac{\pi }{4}$

$\iff 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) $2\left(\sin x+3\right){\cos }^4\frac{x}{2}-\sin x\left(1+\cos x\right)-3\cos x-1=0$

$\iff 2\left(\sin x+3\right){\cos }^4\frac{x}{2}-2\sin x{\cos }^2\frac{x}{2}-6{\cos }^2\frac{x}{2}+2=0$

$\iff \left(\sin x+3\right){\cos }^4\frac{x}{2}-{\cos }^2\frac{x}{2}\left(\sin x+3\right)+1=0$

$\iff {\cos }^2\frac{x}{2}\left(\sin x+3\right)\left({\cos }^2\frac{x}{2}-1\right)+1=0$

$\iff {\cos }^2\frac{x}{2}\left(\sin x+3\right)\left(-{\sin }^2\frac{x}{2}\right)+1=0$

$\iff \left[-\frac{1}{4}\cdot {\left(2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\right)}^2\right]\left(\sin x+3\right)+1=0$

$\iff -\frac{1}{4}{\sin }^{2}x\left(\sin x+3\right)+1=0$

$\iff {\sin }^{3}x+3{\sin }^{2}x-4=0$

$\iff \left(\sin x-1\right){\left(\sin x+2\right)}^2=0$

$\iff [\begin{array}{l}\sin x=1\\ \sin x=-2\left(\mathrm{vn}\right)\end{array}$

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có $-1\le \cos \left(\frac{x}{10}-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$\iff -2\le 2\cos \left(\frac{x}{10}-\frac{\pi }{3}\right)\le 2$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$\iff 6\le 2\cos \left(\frac{x}{10}-\frac{\pi }{3}\right)+8\le 10$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$\iff 6\le y\le 10$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là $T=\left[6;10\right]$.

a) Ta có $S\in \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, gọi $E=AD\cap BC$.

Khi đó, $\{\begin{array}{l}E\in AD\subset \left(SAD\right)\\ E\in BC\subset \left(SBC\right)\end{array}\Rightarrow E\in \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là $SE$.

b) Ta có $S\in \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, ta có $AB//CD$.

Mà $AB\subset \left(SAB\right),CD\subset \left(SCD\right)$.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua điểm $S$ và song song với $AB$ (hoặc $CD$), gọi đường thẳng này là $Sx$.

Vậy $\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)=Sx$.

c) Ta có $MN\subset \left(SAN\right)$ và $S\in \left(SAN\right)\cap \left(SBD\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, gọi $O=AN\cap BD$.

Khi đó, $\{\begin{array}{l}O\in AN\subset \left(SAN\right)\\ O\in BD\subset \left(SBD\right)\end{array}\Rightarrow O\in \left(SAN\right)\cap \left(SBD\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(SAN\right)$, gọi $I=MN\cap SO$.

Khi đó, $\{\begin{array}{l}I\in MN\\ I\in SO\subset \left(SBD\right)\end{array}$.

Vậy $MN\cap \left(SBD\right)=I$.