Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) có đáp án

a) $$\sin 2x=\sin \frac{\pi }{5}$$

$\iff [\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{5}+k2\pi \\ 2x=\pi -\frac{\pi }{5}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{10}+k\pi \\ x=\frac{2\pi }{5}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) $$\cot \left(x+50^{\circ }\right)=\sqrt{3}$$

$\iff \cot \left(x+50^{\circ }\right)=\cot 30^{\circ }$

$\iff x+50^{\circ }=30^{\circ }+k180^{\circ }$

$\iff x=-20^{\circ }+k180^{\circ }\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2x$

$\iff [\begin{array}{l}3x-\frac{\pi }{4}=2x+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi }{4}=-2x+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{20}+k\frac{2\pi }{5}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) $\sin \left(x+6\right)=2{\cos }^{2}5x-1$

$\iff \sin \left(x+6\right)=\cos 10x$

$\iff \sin \left(x+6\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-10x\right)$

$\iff [\begin{array}{l}x+6=\frac{\pi }{2}-10x+k2\pi \\ x+6=\pi -\frac{\pi }{2}+10x+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{22}-\frac{6}{11}+k\frac{2\pi }{11}\\ x=-\frac{\pi }{18}+\frac{2}{3}-k\frac{2\pi }{9}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có $u_{n+1}=1912+\left(n+1\right)=1913+n$.

Khi đó, $u_{n+1}-u_n=\left(1913+n\right)-\left(1912+n\right)=1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vậy $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=1$ và số hạng đầu $u_1=1912+1=1913$.

Theo bài ra ta có: $\{\begin{array}{l}{u}_7-u_3=-8\left(1\right)\\ u_6\cdot u_9=72\left(2\right)\end{array}$.

(1) $\iff u_1+6d-\left(u_1+2d\right)=-8\iff d=-2$.

(2) $\iff \left(u_1+5d\right)\left(u_1+8d\right)=72\iff u_1^2+13d{u}_1+40d^2=72$

$\iff u_1^2+13\cdot \left(-2\right)u_1+40\cdot {\left(-2\right)}^2-72=0\iff u_1^2-26u_1+88=0\iff [\begin{array}{l}{u}_1=4\\ u_1=22\end{array}$.

Hai vật có cùng li độ khi $x_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\mathrm{hay}8\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{2}\right)=-8\cos \left(4\pi t\right)$. (*)

Ta có (*) $\iff \cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\pi -4\pi t\right)$

          $\iff [\begin{array}{l}4\pi t+\frac{\pi }{2}=\pi -4\pi t+k2\pi \\ 4\pi t+\frac{\pi }{2}=-\pi +4\pi t+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

          $\iff t=\frac{1}{16}+\frac{k}{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Khi hai vật dao động trong thời gian từ 0 đến 10 giây, tức là $0\le \frac{1}{16}+\frac{k}{4}\le 10\iff -\frac{1}{4}\le k\le \frac{159}{4}$.

Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{0;1;2;...;39\right\}$.

Vậy khi hai vật dao động trong thời gian từ 0 đến 10 giây, chúng có cùng li độ 40 lần.