Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Gia Định (TP.HCM) có đáp án

Ta có ${\sin }^{2}a=1-{\cos }^{2}a=1-{\left(\frac{-3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$.

Vì $$90^{\circ }<a<180^{\circ }$$ nên $\sin a>0$, do đó $\sin a=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$.

Ta có $$A=\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{-3}{5}=\frac{-24}{25}$$;

$B=\cos 2b=2{\cos }^{2}b-1=2\cdot {\left(\frac{5}{13}\right)}^2-1=-\frac{119}{169}$.

Lại có $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1=2\cdot {\left(\frac{-3}{5}\right)}^2-1=-\frac{7}{25}$;

Khi đó, $C=\cos \left(a+b\right)\cdot \cos \left(a-b\right)=\frac{1}{2}\left(\cos 2a+\cos 2b\right)=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{25}+\frac{-119}{169}\right)=-\frac{2079}{4225}$.

Ta có ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\iff \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}\iff \cos 2x=0\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Các nghiệm thuộc nửa khoảng $\left(-2;3\right]$ là $-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}$.

Tổng các nghiệm trên là $\frac{3\pi }{4}$.

a) Ta có $\{\begin{array}{l}{u}_8+u_6-u_3=41\\ u_2+u_{10}=42\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+7d+u_1+5d-u_1-2d=41\\ u_1+d+u_1+9d=42\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+10d=41\\ 2u_1+10d=42\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=4\end{array}$.

b) Ta có $A=u_{23}+u_{24}+u_{25}+u_{26}+...+u_{60}=S_{60}-S_{22}$.

$S_{60}=\frac{60\left(2\cdot 1+59\cdot 4\right)}{2}=7140$; $S_{22}=\frac{22\left(2\cdot 1+21\cdot 4\right)}{2}=946$.

Vậy $A=S_{60}-S_{22}=7140-946=6194$.

a) Ta có $S\in \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)$. (1)

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $AD\cap BC=I$.

Khi đó $\{\begin{array}{l}I\in AD\subset \left(SAD\right)\\ I\in BC\subset \left(SBC\right)\end{array}\Rightarrow I\in \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)=SI$.

b) Ta có $\{\begin{array}{l}S\in \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)\\ AB//CD\\ AB\subset \left(SAB\right)\\ CD\subset \left(SCD\right)\end{array}$. Suy ra $Sx=\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)$ với $Sx//AB//CD$.

c) Trong $\left(SAB\right)$, gọi $H=MN\cap AB$.

Khi đó $\{\begin{array}{l}H\in MN\\ H\in AB\subset \left(ABCD\right)\end{array}$. Vậy $H=MN\cap \left(ABCD\right)$.

d) Trong $\left(MDH\right)$, gọi $O=MK\cap DN$.

Khi đó $\{\begin{array}{l}O\in MK\subset \left(SAK\right)\\ O\in DN\subset \left(SBD\right)\end{array}\Rightarrow O\in \left(SAK\right)\cap \left(SBD\right)$. (3)

Vì $E=BD\cap AK$ nên $\{\begin{array}{l}E\in AK\subset \left(SAK\right)\\ E\in BD\subset \left(SBD\right)\end{array}\Rightarrow E\in \left(SAK\right)\cap \left(SBD\right)$. (4)

Lại có $S\in \left(SAK\right)\cap \left(SBD\right)$. (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra $S,E,O$ thẳng hàng.

Do đó, $O\in SE$.

Vậy MK, DN, SE đồng quy tại O.