Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 15)

Cho hàm số $f\left(x\right)=-2\mathrm{si}{\mathrm{n}}^{2}x-6\cos x+6$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Giá trị lớn nhất của $f\left(x\right)$ là ___ .

Cho $x\in \left(0;20\right)$, số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=0$ là: __ .

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình $f\left(x\right)\ge 12$ trên đường tròn lượng giác là __ .

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(2;0;1\right)$. Gọi $A,B$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ và trên mặt phẳng $\left(Oyz\right)$.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Người ta muốn trang trí Tết bằng cách xếp xen kẽ 3 cây quất và 2 cây đào sao cho không có cây nào cùng loại xếp cạnh nhau.

Số cách xếp là ___.

Gọi $M\left(a;b\right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left(1-i\right).z=3+3i$.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho hàm đa thức bậc ba $$y=f(x)$$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số?

Đáp án:  _____

Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó:

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là: __.

Công sai của cấp số cộng là: __.

Số nguyên $a$ được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của một số nguyên, tức là $a=b^2$ với $b$ là số nguyên.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn các số $C_{2n}^1,C_{2n}^2,C_{2n}^3$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Khi đó, có bao nhiêu giá trị của n thỏa mãn điều kiện trên?

Đáp án: __

Trong một lớp có $2n+3$ học sinh gồm An, Bình, Chi cùng $2n$ học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến $2n+3$, mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là $\frac{17}{1155}$.

Số học sinh của lớp là ___.

Cho hình chóp $S.ABC,$ H là chân đường cao của hình chóp thỏa mãn $AH=\frac{1}{4}AC$, đều cạnh $a$, góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ }$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Độ dài đoạn thẳng $HB$ là  __________.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là  __________.

Cho tam giác đều $ABC$ có đường tròn nội tiếp $\left(O;r\right)$, cắt bỏ phần hình tròn và cho hình phẳng thu được quay quanh $AO$.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=-x^3+3x^2+\left(m-1\right)x+2m-3$ đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 .

Số phần tử của S là __

Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được đường kính của miệng ly là $4\mathrm{cm}$ và chiều cao là $8\mathrm{cm}$. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,C^{\prime }{D}^{\prime }$.

Độ dài đoạn thẳng $AP$ là  __________

Góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AP$ là  __________

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $AP$ là  __________

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $\mathrm{H}$ là trung điểm của $\mathrm{AC}$.

Khoảng cách từ $\mathrm{B}$ đến $\left(SAC\right)$ bằng  _______.

Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left(SAC\right)$ bằng  __________

Góc giữa mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(ABC\right)$ bằng  __________

Điền số tự nhiên vào ô trống:

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$ và hai điểm $A\left(-1;3;1\right);B\left(0;2;-1\right)$. Gọi $C\left(m;n;p\right)$ là điểm thuộc đường thẳng $d$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $2\sqrt{2}$. Giá trị của tích $m.n.p$ bằng

Đáp án: __

Cho $a$, b là các số dương thỏa mãn $\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{9}a=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{16}b=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{12}\frac{5b-a}{2}$.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}{u}_1=1,u_2=2\\ u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}=3\left(n\in N,n\ge 2\right)\end{array}$.

Số hạng tổng quát của dãy số có dạng $u_n=\frac{a{n}^2+bn+c}{2}\left(\forall n\in \mathbb{N},n\ge 3\right)$.

Khi đó $a+b+c$ bằng __

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, biết $f^{\prime }\left(x\right)+\left(2x+3\right)f^2\left(x\right)=0,f\left(x\right)>0$ với mọi $x>0$ và $f\left(1\right)=\frac{1}{6}$.

Biết $P=1+f\left(1\right)+f\left(2\right)+\cdots +f\left(2024\right)=\frac{a}{b}$ (Với $a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0,\frac{a}{b}$là phân số tối giản).

Khi đó giá trị của $a+b$ bằng: _____

Cho hàm số $$y=f\left(x\right)$$. Đồ thị hàm số $$y=f^{\prime }\left(x\right)$$ như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $$g\left(x\right)=f\left(x^2-3\right)$$.