Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 11)

Cho hai số phức $z_1$ và $z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1;\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{3}$. Khi đó $\left|z_1-z_2\right|=$ (1) __.

Cho $x,y,z,a,b,c$ là ba số thực thay đổi thỏa mãn $x^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=1$ và $a+b+c=4$. Giá trị nhỏ nhất của $P=(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2$ bằng $\frac{k+p\sqrt{3}}{q}$ (phân số tối giản với $q>0$).

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Giá trị của k bằng __.

Giá trị của p bằng _______.

Giá trị của q bằng __.

Có mười cái ghế (mỗi ghế chỉ ngồi được một người) được xếp trên một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh ngồi vào, mỗi học sinh ngồi đúng một ghế. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Một khối gỗ hình trụ có đường kính $1m$ và cao $2m$. Người ta đã cắt bằng một mặt phẳng bỏ đi một phần khối gỗ, phần còn lại như hình vẽ bên dưới có thể tích là $V=\frac{p}{q}\pi \left(m^3\right)$ (với $\frac{p}{q}$ là phân số tối giản, $q>0$). Tích $pq$ bằng (1) ___.

Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn: $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=243$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Giá trị của $n$ bằng __.

Khi đó hệ số của số hạng chứa $x$ của khai triển $(3x-1{)}^n$ là ___.

Giá trị của biểu thức $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots +C_n^n$ bằng ___.

Cho $z_1,z_2$ là hai số phức thỏa mãn $\left|z-2+3i\right|=5$ và $\left|z_1-z_2\right|=6$.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Cho hình nón có chiều cao $h=4$, bán kính đáy $R=5$. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là $\frac{12}{5}$. Diện tích của thiết diện đó bằng (1) ___.

Cho hàm số $y=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1}{1-\cos x}+\cot x\left(C\right)$. Số giao điểm của đồ thị hàm số $\left(C\right)$ với đường thẳng $y=2$ trên đoạn $\left[-\pi ;\pi \right]$ là __, trong đó điểm có hoành độ $\frac{\pi a}{b}$ với $a=$___, $b=$__,$(a,b\in \mathbb{Z};b>0;\left(a;b\right)=1)$ nằm gần trục tung nhất.

Bất phương trình $\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_2\left(\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}\frac{3x-7}{x+3}\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $\left(a;b\right]$ (với $a;b\in \mathbb{R}$ ). Giá trị $P=3a-b$ bằng (1) __.

Một món quà lưu niệm có dạng hình cầu bán kính bằng 3 được đặt vừa khít vào hộp đựng quà (mặt cầu tiếp xúc với các mặt của hộp quà). Biết phần nắp cài chiếm 20% diện tích mặt hộp.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cuốn sách có ____ trang.

Chữ số thứ 1010 là chữ số __.

Một vòi nước chảy vào một bình không chứa nước hình nón có chiều sâu 45 cm và đường kính 27 cm với tốc độ 11 cm³/phút.

Tốc độ dâng lên của mực nước là (1) ______ cm/phút khi nước đạt độ sâu 30 cm. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3)

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng có $u_1=3$ và công sai $d=4$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Tổng của ___ số hạng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$ là $S_n=253$.

Số hạng thứ 10 của dãy số $\left(u_n\right)$ là $u_{10}=$ ___.

Hình vẽ sau thể hiện đồ thị của hàm số $y=P\left(x\right)$ với $P\left(x\right)$ là một đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1. Trục $Ox$ là tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm $x=-2$ và $x=4$.

Đa thức $P\left(x\right)$ chia hết cho đa thức bậc nhất __________.

Đa thức $P\left(x\right)$ chia hết cho đa thức bậc hai __________.

Đa thức $P\left(x\right)$ là __________.

Có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 quyển Toán, 4 quyển Lý và 3 quyển Hóa. Giáo viên cần chọn 6 quyển sách từ 12 quyển sách tặng cho 6 học sinh, mỗi học sinh một quyển sách.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Trong mặt phẳng $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left(0;-1;2\right),B\left(2;-3;0\right),C\left(-2;1;1\right),D\left(0;-1;3\right)$. Gọi $\left(L\right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ trong không gian thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(0;1;2\right),B\left(3;0;-1\right),C\left(-1;-2;0\right)$. Diện tích tam giác $ABC$ là $\frac{\sqrt{a}}{2}$ với a = (1) ____.

Có (1) __ điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{4x-3}{x-3}$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó bằng (2) __.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có diện tích đáy $S=10\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc $30^{\circ }$ và độ dài cạnh bên bằng $10\mathrm{cm}$. Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng (1) ___$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$.

Cho $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{-1}{\mathrm{si}{\mathrm{n}}^{2}x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=k+1$ với mọi $k\in \mathbb{Z}$.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3]. Mỗi phất biểu sau đây là đúng hay sai?

Gọi S là tập các số nguyên $m\in \left[-5;5\right]$ để phương trình

 $2x-2\sqrt{x-\sqrt{x^2-4}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-4}}=2m+2\sqrt{x^2-4}$ có nghiệm. Số tập con của tập S là