Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 10)

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định, liên tục trên đoạn $\left[-1;3\right]$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tập hợp $T$ là tập tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left(x\right)=m$ có 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[-1;3\right]$.

Giá trị nguyên nhỏ nhất của tập $T$ là _______.

Giá trị nguyên lớn nhất của tập $T$ là _______.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $J$ là trung điểm $SD$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M,N$ là hai điểm nằm trên hai cạnh $SC,SD$ sao cho $\frac{SM}{SC}=\frac{1}{2},\frac{SN}{ND}=2$, biết G là trọng tâm tam giác $SAB$. Tỉ số thể tích $\frac{V_{G.MND}}{V_{S.ABCD}}=\frac{m}{n}$, $m,n$ là các số nguyên dương và $\left(m,n\right)=1$. Giá trị của $m+n$ bằng (1) ___.

Điền số tự nhiên vào chỗ trống

Cho đa giác lồi có 10 cạnh. Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy, số giao điểm của các đường chéo là (1) ____.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi $$\{\begin{array}{c}{u}_1=1,u_2=3\\ u_{n+2}+u_n=2\left(u_{n+1}+1\right),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$ . Giới hạn $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{n^2}$$bằng (1) __.

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 và hình trụ (T) có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều ABCD.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z-27=0$. Bán kính $R$ của mặt cầu $\left(S\right)$ bằng (1) __.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Lấy hai điểm $M$ và $N$ theo thứ tự di động trên $AC$ và $A^{\prime }B$ sao cho $AM=A^{\prime }N=t\left(0\le t\le a\sqrt{2}\right)$. Giá trị nhỏ nhất của $MN$ bằng __________, khi đo góc (MN, AC) bằng __________.

Cho hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=2x^2$ và $y=x$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng __________.

Diện tích hình phẳng $\left(H\right)$ bằng __________.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(-1;6;-1\right),B\left(2;-1;3\right),C\left(-3;5;1\right)$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì hoành độ điểm $D$ là _______.

Chân đường cao $H$ hạ từ đỉnh $A$ của có tọa độ là (_______; ______;______)

Cho hàm số $y=x^2.{\mathrm{e}}^{-x}$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho khai triển $P\left(x\right)=\left(1+2x\right)(3+x{)}^{11}$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho khai triển

$P(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2^2}\right)\dots \left(x+\frac{1}{2^{9999}}\right)=x^{9999}+A_1{x}^{9998}+A_2{x}^{9997}+\dots +A_{9999}.$

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Cho mặt phẳng $\left(P\right):2x-2y+z+1=0$ và hai điểm $A\left(0;2;1\right),B\left(\frac{7}{9};\frac{2}{9};\frac{17}{9}\right)$.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Cho mặt cầu có diện tích là $100\pi$. Thể tích của khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu đã cho là $\frac{k\pi }{3}$. Giá trị của $k$ bằng (1) ____.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I\left(1;2;-2\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y+z+5=0$. Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I$ cắt mặt phẳng $\left(P\right)$ theo một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Để tìm số các chữ số của một số tự nhiên $A$ khi viết trong hệ thập phân, ta có công thức là:

$\left[\log A\right]+1$.

Số nguyên tố dạng $M_p=2^p-1$,

Cho phương trình $\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_4(x+1{)}^2+2=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{\sqrt{2}}\sqrt{4-x}+\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_8(4+x{)}^3$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Hai bạn $A$ và $B$ chơi một trò chơi: hai bạn sẽ tung hai con xúc xắc luân phiên, để giành chiến thắng thì tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc phải bằng 8 . Biết bạn $\mathrm{A}$ là người chơi trước, xác suất giành chiến thắng của bạn $\mathrm{A}$ bằng (1) ______.

Đồ thị hàm số $$y=\frac{9x+1}{\sqrt{2020-x^2}}$$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f\left(a\ne 0\right)$. Biết hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị như hình bên.

Đặt $g\left(x\right)=f\left(3x-1\right)-9x^3+\frac{9}{2}{x}^2-6x+2021$. Hàm số $g\left(\left|x\right|\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2^{f\left(x\right)+\frac{4}{f\left(x\right)}}+{\log }_2\left[f^2\left(x\right)-4f\left(x\right)+5\right]=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt bằng

Bất phương trình ${\log }_4\left(x+7\right)>{\log }_2\left(x+1\right)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình $m.16^x-\left(2m+1\right).12^x+m.9^x\le 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;1\right)$?

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có diện tích đáy bằng 12 và chiều cao bằng 6. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CB, CA và P, Q, R lần lượt là tâm các hình bình hành $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $CA{A}^{\prime }{C}^{\prime }$. Thể tích của khối đa diện PQRABMN bằng

Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay $\left(H\right)$, một mặt phẳng đi qua trục của $\left(H\right)$ cắt $\left(H\right)$ theo một thiết diện như trong hình vẽ dưới. Tính thể tích của $\left(H\right)$.

Một bộ pha trà bằng thủy tinh có bình tổng và các tách đều là dạng hình trụ. Bình tổng có chiều cao gấp đôi đường kính đáy, tách trà có bán kính đáy bằng một nửa bán kính đáy bình tổng và có chiều cao bằng một phần ba chiều cao bình tổng. Có ba người ngồi thưởng trà, mỗi lượt người thưởng trà chỉ uống vừa đúng ba phần tư lượng nước có trong chén trà rồi lại châm thêm nước trà từ bình tổng vào chén.

Hỏi sau mấy lần rót nước trà vào các chén thì hết nước trà trong bình tổng, biết rằng thể tích nước trà ban đầu có trong bình tổng chiếm ba phần tư thể tích của bình và mỗi lần rót trà thì chỉ rót vừa đủ ba phần tư thể tích của chén trà.

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bằng a. Trên các tia $A{A}^{\prime }$; $B{B}^{\prime }$; $C{C}^{\prime }$ lần lượt lấy $A_1;B_1;C_1$ cách mặt phẳng đáy $\left(ABC\right)$ lần lượt là $\frac{a}{2};a;\frac{3a}{2}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(A_1{B}_1{C}_1\right)$.

Cho phương trình $\sin 2x-\cos 2x+\left|\mathrm{sinx}+\cos x\right|-\sqrt{2{\cos }^{2}x+m}-m=0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thực?