Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 4)

PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG

Lĩnh vực: Toán học (50 câu – 75 phút)

Câu 1. Dựa vào dữ liệu trong hình vē dưới đây:

Trong không gian $$Oxyz,$$ tam giác $$ABC$$ với $A\left(1;-3;3\right),B\left(2;-4;5\right),C\left(a;-2;b\right)$ nhận điểm $G\left(1;c;3\right)$ làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng $a+b+c$ bằng

Đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{{\log }_{2}x}{x}$ là

Cho tam giác đều $$ABC$$ có cạnh bằng $$4a.$$ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là

Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ thỏa mãn $iz+\left(1-i\right)\bar{z}=-2i$ bằng

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $5\mathrm{cm}$ và khoảng cách giữa hai đáy là $7\mathrm{cm}.$ Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục $3\mathrm{cm}.$ Tính diện tích $S$ của thiết diện được tạo thành.

Tất cả giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3+\left(m^2-2\right)x+2m^2+4$ cắt các trục tọa độ $$Ox,Oy$$ lần lượt tại $$A,B$$ sao cho diện tích tam giác $$OAB$$ bằng 8 là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(\tan x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2}f\left(x\right)}{x^2+1}\mathrm{d}x=2.$$ Tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x.$

Cho hình chóp $$S.ABCD$$ có đáy $$ABCD$$ là hình vuông cạnh $$a,SA$$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}.$ Gọi $\alpha$ là góc giữa $$SD$$ và $\left(SAC\right).$ Giá trị $\sin \alpha$ bằng

Một chất điểm  xuất phát từ $$O$$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left(t\right)=\frac{1}{100}{t}^2+\frac{13}{30}t(\mathrm{m}/\mathrm{s})$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $$A$$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $$B$$ cũng xuất phát từ $$O$$, chuyển động thẳng cùng hướng với $$A$$ nhưng chậm hơn 10 giây so với $$A$$ và có gia tốc băng $a\left(\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $$B$$ xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp $$A$$. Vận tốc của $$B$$ tại thời điểm đuổi kịp A$$A$$bằng

Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau $t$ tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức $M\left(t\right)=75-20\ln \left(t+1\right),t\ge 0$ (đơn vị: %). Hỏi sau khoảng bao nhiêu lâu thì nhóm học sinh đó nhớ được danh sách đó dưới $10\%$?

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $(C):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=4.$ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn $(C)$ song song với đường thẳng $\Delta :4x-3y+2=0$ là

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ trong ngày thứ $t$ của năm 2017 được cho bởi một hàm số $y=4\sin \left[\frac{\pi }{178}\left(t-60\right)\right]+10$ với $t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365.$ Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

Cho hình chóp $$S.ABCD$$ có đáy $$ABCD$$ là hình vuông cạnh $$a,SA$$ vuông góc với đáy $$ABCD$$, góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBD\right)$ và $$ABCD$$ bằng $60^{\circ }.$ Gọi $$M,N$$ lần lượt là trung điểm của $$SB,SC.$$ Tính thể tích khối chóp $$S.ADNM$$ là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right).$ Hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-2\right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f^{\prime }\left(x\right)=a{x}^2+\frac{b}{x^3},f^{\prime }\left(1\right)=3,f\left(1\right)=2,f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{12}.$ Khi đó $2a+b$ bằng

Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.$ Biết rằng góc giữa $\left(A^{\prime }BC\right)$ và $\left(ABC\right)$ là $30^{\circ }$, tam giác $A^{\prime }BC$ có diện tích bằng 8. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là

Trong không gian $$Oxyz,$$ cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=25$ và hình nón $$\left(H\right)$$ có đỉnh $A\left(3;2;-2\right)$ và nhận $$AI$$ làm trục đối xứng với $$I$$ là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón $$\left(H\right)$$ cắt mặt cầu tại $$M,N$$ sao cho $AM=3AN.$ Phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu $\left(S\right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $$\left(H\right)$$ là

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left[{\log }_2\left(x^2+1\right)-{\log }_2\left(x+31\right)\right]\left(32-2^{x-1}\right)\ge 0$?