Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 7)

Có 100 học sinh tham dự kì thi Olympic Toán - tiếng Anh (thang điểm 20). Kết quả điểm của 100 học sinh trên được ghi lại ở bảng sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu trên.

 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$. Khi đó:

  

Hình lăng trụ đều là

Số gần đúng của $a=5,2463$ với độ chính xác $d=0,001$ là

 

Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng $CD=60\mathrm{m}$, giả sử chiều cao của giác kế là $OC=1\mathrm{m}$. Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhìn thấy đỉnh $A$ của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc $\widehat{AOB}=60^{\circ }$. Chiều cao của ngọn tháp gần nhất với giá trị nào sau đây?

   

Phương trình $\frac{\sin 3x}{3}=\frac{\sin 5x}{5}$ có 3 nghiệm $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ phân biệt thuộc khoảng $\left[0;\pi \right)$ khi đó $\cos A+\cos B+\cos C$ bằng

   

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên $\mathrm{mp}(\mathrm{ABC})$. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau.

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x+m}{\sqrt{x^2+6}}$ đồng biến trên (1;2). Tổng các phần tử của $S$ bằng

 

Biết hàm số $y=f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}3x+b,& \mathrm{khi}x\le -1\\ x+a,& \mathrm{khi}x>-1\end{array}$ có giới hạn tại $x=-1$. Giá trị của $a-b$ bằng

 

Tam giác $ABC$ có $\cos \left(A+B\right)=-\frac{1}{8},AC=4,BC=5$. Tính cạnh $AB$.

   

Trong tam giác $ABC$, nếu có $2h_a=h_b+h_c$ thì:

 

Tập nghiệm của phương trình $x-\sqrt{x-3}=\sqrt{3-x}+3$ là

 

Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 bì thư đã đề sẵn địa chỉ. Tính xác suất để ít nhất có 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ.

 

Tính $\lim n\left(\sqrt{4n^2+3}-\sqrt[3]{8n^3+n}\right)$.

 

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B,BA=a,BC=2a,SA=2a,SA\perp \left(ABC\right)$. Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $SC$. Tính khoảng cách từ điểm $K$ đến mặt phẳng $\left(SAB\right)$

 

Cho tam giác $ABC$ có $D,E$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Gọi $O$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta ABC$. Vẽ $M$ đối xứng với $O$ qua $D$ và $N$ đối xứng với $O$ qua $E$. Đẳng thức nào sau đây là sai?

Cho $\Delta ABC$ có $AB=14,AC=18,\hat{A}=65^{\circ }$. Độ lớn của góc $\hat{B}$ gần nhất với số nào sau đây?

 

Để đo chiều cao của một ngọn núi người ta đứng ở các vị trí $A,B$ cách nhau $500m$ (như hình vẽ) và đo được các góc tại $A$ và $B$ lần lượt là $34^{\circ }$ và $38^{\circ }$. Tính chiều cao của ngọn núi (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

   

Cho hàm số $$y=x^4-2m{x}^2+m$$. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có 3 cực trị

 

Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố: "Tích số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là số chia hết cho 9".

 

Cho hai đường thẳng song song $d_1,d_2$. Trên $d_1$ có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ, trên $d_2$ có 4 điểm phân biệt được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tạm giác có hai đỉnh màu đỏ là

 

Cho tam giác $ABC$ có $AB=6,BC=8$, đường cao $AH=2\sqrt{5}$ và diện tích đường tròn nội tiếp tam giác là $\frac{16}{5}\pi$. Độ dài cạnh $AC$ là

 

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho $4AH=AB$. Hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SHC\right)$ đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left(SHC\right)$.

 

Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn $5^{{(x+y)}^2}+25^{xy}\left(x^2+y^2-1-xy\right)-5^{3xy+1}=0$. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x^4+y^4-x^2{y}^2$. Khi đó $3m+2M$ bằng

Anh A gửi tiết kiệm hàng tháng với số tiền 20 000 000 đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,7% một tháng dự định gửi trong vào 36 tháng. Nhưng đến đầu tháng thứ 25 thì Anh A làm ăn thua lỗ không còn tiền để gửi vào ngân hàng nên buộc phải rút tiền ra khỏi ngân hàng đó. Biết số tiền thua lỗ là 500000000 đồng. Hỏi sau khi rút tiền ra ngân hàng thì số tiền rút được T bằng bao nhiêu ? Anh A còn nợ hay đã trả hết rồi ?

Số nghiệm của phương trình $\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x+2\cos 3x.\sin x-2=0$ trong khoảng $\left(0;\pi \right)$ là

 

Cho tứ diện $SABC$, $E,F$ lần lượt thuộc đoạn $AC,AB$. Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$. Gọi $D$ là giao điểm của$\left(SAK\right)$ với $BC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?