Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 5)

Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h\left(\text{m}\right)$ của mực nước theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày cho bởi công thức:

$h=16+7\sin \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ với $0\le t\le 24$.

Tìm thời điểm $t$ (giờ) mà mực nước tại cảng là cao nhất (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho phương trình $$\left(m-1\right)x^2-2\left(m+2\right)x+m+1=0$$, với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho $x_1+x_2-x_1{x}_2$ là một số nguyên?

Một hội trường A của một trường đại học có 600 chỗ ngồi và các hàng ghế được xếp theo dạng bậc thang, hàng ghế đầu tiên có 15 chỗ ngồi và cao 0,3m so với mặt nền. Mỗi hàng ghế sau có thêm 3 chỗ ngồi và cao hơn 0,2m so với hàng ghế ngay trước nó. Hỏi hàng ghế cuối cùng của hội trường đó sẽ cao bao nhiêu mét so với mặt nền (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Cho phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(m+6\mathrm{x}\right)+{\log }_2\left(3-2\mathrm{x}-x^2\right)=0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $$m$$ để phương trình đã cho có nghiệm?

Cho hàm số $y= x^3-3(m+1)x^2+3mx+2$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C của (C) song song với nhau (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Cho hàm số bậc ba $$y=f\left(x\right)$$. Hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số $$y=f\left(2-x^2\right)$$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Cho hàm số $y = 2x^3-6x^2+2(2-m)x+m$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[-2024;2024\right]$ để hàm số có hai điểm cực trị (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

$$\int {\left(\cos \frac{x}{2}\right)}^2\mathrm{d}x$$ bằng:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $ℝ$, có bảng biến thiên như sau:

Xác định số nghiệm của phương trình $2\left[f\left(x\right)\right]{}^2-3f\left(x\right)+1=0$, biết $f\left(-4\right)=0$ (nhập đáp án vào ô trống).

 __

Biết  $F\left(x\right) = x^2$  là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên $ℝ$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[2+f\left(x\right)\right]\text{d}x$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Người A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của người A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là $\alpha =35°$; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt người A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, người B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là $\beta = 75°$; khoảng cách từ mặt đất đến mắt người B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20m (hình vẽ bên). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

___

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách $h$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(SCD\right)$ là:

Biết $\underset{\frac{\pi }{3}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(2\sin x+3\cos x+x\right)dx=\frac{a+b\sqrt{3}}{2}+\frac{5{\pi }^2}{c}$ $\left(a,b,c\in \mathbb{Z}\right)$. Khi đó giá trị của biểu thức $P=a+2b+3c$ bằng (nhập đáp án vào ô trống):

____

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(0;-1;1\right),\overrightarrow{b}=\left(-1;0;-m\right)$. Có bao nhiêu giá trị thực của m để góc giữa vectơ $\overrightarrow{a}$ và vectơ $\overrightarrow{b}$ bằng $60^{\circ }$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=3+t\\ z=3+2t\end{array}$. Điểm $H\left(a;b;c\right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm A(2;1;4) trên đường thẳng $\Delta$. Khi đó giá trị của biểu thức  $a+b-\frac{c}{3}$ bằng (nhập đáp án vào ô trống):

 __