Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x=2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)$, ở đây thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Bà chủ quán trà sữa X muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\ln \frac{2018x}{x+1}.$ Tổng $S=f^{\prime }\left(1\right)+f^{\prime }\left(2\right)+\dots +f^{\prime }\left(2018\right)$ bằng:

Cho biết phương trình ${\log }_3\left(3^{x+1}-1\right)=2x+{\log }_{\frac{1}{3}}2$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Hãy tính tổng $S={27}^{x_1}+{27}^{x_2}$ (nhập đáp án vào ô trống).

____

Cho hàm số $y = \frac{1}{x-1}$  có đồ thị $\left(C\right)$. Tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại điểm có tung độ bằng $1$ tạo với hai trục tọa độ $Ox,Oy$ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

 ____

Cho hàm số $$y=f\left(x\right)$$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $$y=f\left(x^2-2\right)$$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $g\left(x\right)=2f^2\left(x\right)\cdot \left[f\left(x\right)-3m\right]$ có 4 điểm cực tiểu?

Cho hàm số $$y=f\left(x\right)$$ liên tục trên $$\mathbb{R}$$ có đồ thị $$y=f^{\prime }\left(x\right)$$ như hình vẽ bên.

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì gặp chướng ngại vật, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left(t\right)=-2t+10\left(\text{m/s}\right)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: mét).

___

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu như hình vẽ dưới đây.

Gọi $m, n$ lần lượt là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số đã cho. Tính giá trị biểu thức $m^2 -2n$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Nếu $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=6$ thì $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[\frac{1}{3}f\left(x\right)+2\right]\text{d}x$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

 __

Chọn hai điểm $A,B$ trên mặt đất sao cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Ta đo được AB = 24 m, $\widehat{CAD}=63^{\circ }$, $\widehat{CBD}=48^{\circ }$. Chiều cao h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây?

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x$ (cm) rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp (tham khảo hình vẽ bên). Với giá trị nào của $x$ thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất, giả thiết bề dày tấm tôn không đáng kể (nhập đáp án vào ô trống).

__

Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm $A\left(0;0\right),B\left(0;6\right),C\left(8;0\right)$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right): 2x+6y-3z-1=0$ và ba điểm $A\left(1;-1;-5\right),B\left(0;1;2\right),$$C\left(2;3;1\right)$. Biết điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ sao cho $P= M{A}^2+2M{B}^2-2M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất là $P_{\min }$. Khi đó $P_{\min }$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Bác Nam muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 40cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông sao cho độ cao hai thành rãnh bằng nhau (Hình bên).

Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng $150c{m}^2$. Bác Nam cần làm rãnh dẫn nước có độ cao ít nhất là bao nhiêu centimét (nhập đáp án vào ô trống)?

__