Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Trần Phú (Hoàn Kiếm-Hà Nội) có đáp án

a) Chia cả tử và mẫu cho $n^2$:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+5n-17}{5n^2-n+19}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{5}{n}-\frac{17}{n^2}}{5-\frac{1}{n}+\frac{19}{n^2}}=\frac{2+0-0}{5-0+0}=\frac{2}{5}$.

b) Giới hạn có dạng vô định $\frac{0}{0}$. Nhân lượng liên hợp ở tử và phân tích đa thức thành nhân tử ở mẫu:

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{3x-2}-2}{-3x^2+2x+8}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(3x-2\right)-4}{-\left(x-2\right)\left(3x+4\right)\left(\sqrt{3x-2}+2\right)}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3\left(x-2\right)}{-\left(x-2\right)\left(3x+4\right)\left(\sqrt{3x-2}+2\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3}{-\left(3x+4\right)\left(\sqrt{3x-2}+2\right)}=\frac{3}{-\left(3\cdot 2+4\right)\left(\sqrt{3\cdot 2-2}+2\right)}=\frac{3}{-10\cdot 4}=-\frac{3}{40}$.

Tập xác định của hàm số chứa điểm $x=1$. Ta có: $f\left(1\right)=a\cdot 1-3=a-3$.

Giới hạn bên trái tại $x=1$: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(ax-3\right)=a-3$.

Giới hạn bên phải tại $x=1$: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=1-3=-2$.

Để hàm số liên tục tại $x=1$, điều kiện cần và đủ là: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\iff a-3=-2\iff a=1$.

Vậy $a=1$ là giá trị cần tìm.

a) Hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SCD\right)$ có điểm chung đầu tiên là $S$.

Mặt khác, ta có $AB\subset \left(SAB\right)$, $CD\subset \left(SCD\right)$ và $AB//CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành).

Theo định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, giao tuyến của $\left(SAB\right)$ và $\left(SCD\right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $AB$ và $CD$.

Vậy $\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)=d\left(d//AB//CD,S\in d\right)$.

b) Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $M$ là trung điểm $AB$, nên $G$ nằm trên trung tuyến $SM$ và thỏa mãn: $\frac{MG}{MS}=\frac{1}{3}$.

Theo giả thiết $CF=2MF\Rightarrow MC=MF+FC=MF+2MF=3MF\Rightarrow \frac{MF}{MC}=\frac{1}{3}$.

Xét trong tam giác $SMC$, ta có: $\frac{MG}{MS}=\frac{MF}{MC}=\frac{1}{3}$.

Theo định lý Thales đảo, ta suy ra $GF//SC$.

c)  Từ câu b, ta đã có $GF//SC$. Mà $SC\subset \left(SCD\right)$ nên $GF//\left(SCD\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, qua điểm $F$ kẻ đường thẳng song song với $CD$, cắt cạnh $AD$ tại $E^{\prime }$.

Do $E^{\prime }F//CD$ và $CD\subset \left(SCD\right)$ nên $E^{\prime }F//\left(SCD\right)$.

Mặt phẳng $\left(E^{\prime }FG\right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $GF$ và $E^{\prime }F$ cùng song song với $\left(SCD\right)$, nên:

                          $\left(E^{\prime }FG\right)//\left(SCD\right)$.

Suy ra $E^{\prime }G//\left(SCD\right)$. Do đó, điểm $E$ cần tìm chính là điểm $E^{\prime }$.

Khi đó ta có $EF//AB//CD$, theo định lý Thales, ta có: $\frac{AE}{AD}=\frac{MF}{MC}=\frac{1}{3}\Rightarrow AD=3AE$.

Theo đề bài: $AD=x\cdot AE\Rightarrow x=3$.

Kết luận: $x=3$.