Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Gia Thiều (Hà Nội) có đáp án

Đổi 100 nghìn đồng = $0,1$ triệu đồng.

Thời gian làm việc trong 2 năm là $n=24$ tháng.

Số tiền lương anh Tuấn nhận được ở mỗi tháng lập thành một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với số hạng đầu $u_1=8$ (triệu đồng) và công sai $d=0,1$ (triệu đồng).

Tổng số tiền lương anh Tuấn nhận được trong 24 tháng là tổng 24 số hạng đầu của cấp số cộng $\left(u_n\right)$:

$S_{24}=\frac{24}{2}\cdot \left[2u_1+\left(24-1\right)d\right]=12\cdot \left[2\cdot 8+23\cdot 0,1\right]=12\cdot \left(16+2,3\right)=12\cdot 18,3=219,6$ (triệu đồng).

Tính giới hạn bên trái khi $x\to 2^{-}$: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x+1\right)=2+1=3$.

Tính giới hạn bên phải khi $x\to 2^{+}$: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2+8x-20}{4x-8}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+10\right)}{4\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x+10}{4}=3$.

Nhận thấy $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=3$.

Vậy $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=3$.

a) Trong $\mathrm{\Delta }ABC$, có $O$ là trung điểm của $AC$ và $E$ là trung điểm của $BC$.

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ABC\Rightarrow OE//AB$.

Mà $AB\subset \left(SAB\right)$ và $OE\not\subset \left(SAB\right)$.

Do đó $OE//\left(SAB\right)$.

b) Trong $\mathrm{\Delta }SAC$, $O$ là trung điểm $AC$, $F$ là trung điểm $SA\Rightarrow OF$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }SAC\Rightarrow OF//SC$. Mà $SC\subset \left(SCD\right)\Rightarrow OF//\left(SCD\right)$.

Trong $\mathrm{\Delta }BCD$, $O$ là trung điểm $BD$, $E$ là trung điểm $BC$$\Rightarrow OE$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }BCD\Rightarrow OE//CD$. Mà $CD\subset \left(SCD\right)\Rightarrow OE//\left(SCD\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(OEF\right)$, hai đường thẳng $OF$ và $OE$ cắt nhau tại $O$ và cùng song song với mặt phẳng $\left(SCD\right)$. Suy ra $\left(OEF\right)//\left(SCD\right)$.

c) Xác định vị trí điểm $K$ trên cạnh $CD$:

Đặt cạnh hình vuông $ABCD$ là $a$.

Vì $E$ là trung điểm $BC$ nên $BE=\frac{a}{2}$.

Xét $\mathrm{\Delta }ABE$ vuông tại $B$, có $\tan \widehat{BAE}=\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}$.

Theo giả thiết $\widehat{CAK}=\widehat{BAE}\Rightarrow \tan \widehat{CAK}=\frac{1}{2}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat{BAC}=45^{\circ }$.

Do đó $\widehat{BAK}=\widehat{BAC}+\widehat{CAK}=45^{\circ }+\widehat{BAE}$.

Áp dụng công thức cộng lượng giác: $\tan \widehat{BAK}=\tan \left({45}^{\circ }+\widehat{BAE}\right)=\frac{\tan {45}^{\circ }+\tan \widehat{BAE}}{1-\tan {45}^{\circ }\cdot \tan \widehat{BAE}}=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3$.

Trong $\mathrm{\Delta }ADK$ vuông tại $D$, ta có $\widehat{DAK}=90^{\circ }-\widehat{BAK}$.

Suy ra $\cot \widehat{DAK}=\tan \widehat{BAK}=3\Rightarrow \tan \widehat{DAK}=\frac{1}{3}$$\Rightarrow DK=AD\cdot \tan \widehat{DAK}=a\cdot \frac{1}{3}=\frac{a}{3}$.

Suy ra $CK=CD-DK=a-\frac{a}{3}=\frac{2a}{3}$.

Do đó $\frac{CK}{CD}=\frac{\frac{2a}{3}}{a}=\frac{2}{3}$.

Xác định tỉ số $\frac{SH}{SA}$:

Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ tại $I$.

Vì $IK//BC\Rightarrow IK//\left(SBC\right)$.

Mặt phẳng chứa $KH$ và $IK$ là $\left(HKI\right)$.

Vì $KH//\left(SBC\right)$ và $IK//\left(SBC\right)$ nên mặt phẳng $\left(HKI\right)//\left(SBC\right)$.

Mặt phẳng $\left(SAB\right)$ cắt hai mặt phẳng song song $\left(HKI\right)$ và $\left(SBC\right)$ theo hai giao tuyến song song là $HI$ và $SB\Rightarrow HI//SB$.

Áp dụng định lý Thalès trong $\mathrm{\Delta }SAB$ có $HI//SB$ ta được $\frac{SH}{SA}=\frac{BI}{BA}$.

Vì $IK//BC$ và $ABCD$ là hình vuông nên $IBCK$ là hình chữ nhật $\Rightarrow BI=CK=\frac{2}{3}a$.

Do đó: $\frac{SH}{SA}=\frac{\frac{2}{3}a}{a}=\frac{2}{3}$.