Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Bình Chiểu (TP.HCM) có đáp án

a) Ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho $n^3$: $\lim \frac{n^3-2n}{5n^3-n^2+n}=\lim \frac{1-\frac{2}{n^2}}{5-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}$.

Vì $\lim \frac{2}{n^2}=0$, $\lim \frac{1}{n}=0$, $\lim \frac{1}{n^2}=0$, nên ta có: $\lim \frac{n^3-2n}{5n^3-n^2+n}=\frac{1-0}{5-0+0}=\frac{1}{5}$.

b) Ta chia cả tử và mẫu cho $6^n$: $\lim \frac{6^n-3^n}{2^n+3\cdot 6^n}=\lim \frac{1-{\left(\frac{3}{6}\right)}^n}{{\left(\frac{2}{6}\right)}^n+3}=\lim \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+3}$.

Vì $\left|\frac{1}{2}\right|<1$ và $\left|\frac{1}{3}\right|<1$ nên $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$ và $\lim {\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0$. Do đó: $\lim \frac{6^n-3^n}{2^n+3\cdot 6^n}=\frac{1-0}{0+3}=\frac{1}{3}$.

a) Ta có $\underset{x\to -5}{\lim }\frac{2x^2+9x-5}{x+5}=\underset{x\to -5}{\lim }\frac{\left(2x-1\right)\left(x+5\right)}{x+5}=\underset{x\to -5}{\lim }\left(2x-1\right)=2\cdot \left(-5\right)-1=-11$.

b) Ta có $\underset{x\to 6}{\lim }\frac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}=\underset{x\to 6}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x-2}-2\right)\left(\sqrt{x-2}+2\right)}{x\left(x-6\right)\left(\sqrt{x-2}+2\right)}$$=\underset{x\to 6}{\lim }\frac{\left(x-2\right)-4}{x\left(x-6\right)\left(\sqrt{x-2}+2\right)}$

$=\underset{x\to 6}{\lim }\frac{x-6}{x\left(x-6\right)\left(\sqrt{x-2}+2\right)}$$=\underset{x\to 6}{\lim }\frac{1}{x\left(\sqrt{x-2}+2\right)}$$=\frac{1}{6\cdot \left(\sqrt{6-2}+2\right)}=\frac{1}{6\cdot \left(2+2\right)}=\frac{1}{24}$.

a) Xét tam giác $SCD$:

$H$ là trung điểm của $SD$ (giả thiết).

$P$ là trung điểm của $CD$ (giả thiết).

Suy ra $HP$ là đường trung bình của tam giác $SCD$$\Rightarrow HP//SC$.

Mặt khác:

Đường thẳng $SC$ nằm trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$ ($SC\subset \left(SAC\right)$).

Đường thẳng $HP$ không nằm trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$ ($HP\not\subset \left(SAC\right)$).

Do đó, theo dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có: $HP//\left(SAC\right)$.

b) Xét tam giác $SBD$:

$H$ là trung điểm của $SD$ (giả thiết).

$O$ là trung điểm của $BD$ (do $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$).

Suy ra $OH$ là đường trung bình của tam giác $SBD$$\Rightarrow OH//SB$.

Vì $SB\subset \left(SBC\right)$ nên $OH//\left(SBC\right)$ (1).

Xét tam giác $BCD$:

$O$ là trung điểm của $BD$.

$P$ là trung điểm của $CD$ (giả thiết).

Suy ra $OP$ là đường trung bình của tam giác $BCD$$\Rightarrow OP//BC$.

Vì $BC\subset \left(SBC\right)$ nên $OP//\left(SBC\right)$ (2).

Trong mặt phẳng $\left(OHP\right)$, hai đường thẳng $OH$ và $OP$ cắt nhau tại $O$ và cùng song song với mặt phẳng $\left(SBC\right)$.

Theo định lý về hai mặt phẳng song song, ta suy ra: $\left(OHP\right)//\left(SBC\right)$.

Lưu ý: Ngoài cách trên, ta cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng hai đường thẳng $HP$ và $OP$ cắt nhau tại $P$ và cùng song song với mặt phẳng $\left(SBC\right)$ (với $HP//SC\Rightarrow HP//\left(SBC\right)$).