Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 5)

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và MN // AC nên: $\left(\widehat{\mathrm{MN},\mathrm{AP}}\right)=\left(\widehat{\mathrm{AC},\mathrm{AP}}\right)$

Vì ${\mathrm{\Delta A}}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}P$ vuông tại D' nên $A^{\text{'}}P=\sqrt{A^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2+D^{\text{'}}{P}^2}$$=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$$=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

 ${\mathrm{\Delta AA}}^{\text{'}}P$ vuông tại A' nên $\mathrm{AP}=\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2+A^{\text{'}}{P}^2}$$=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)}^2}$$=\frac{3a}{2}$

${\mathrm{\Delta CC}}^{\text{'}}P$ vuông tại C' nên $\mathrm{CP}=\sqrt{C{C^{\text{'}}}^2+C^{\text{'}}{P}^2}$$=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}$$=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên $\mathrm{AC}=a\sqrt{2}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:

${\mathrm{CP}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{AP}}^2-2\mathrm{AC}.\mathrm{AP}.\cos \widehat{\mathrm{CAP}}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \cos \widehat{\mathrm{CAP}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{CAP}}=45°<90°\end{array}$

Vậy $\left(\widehat{\mathrm{AC};\mathrm{AP}}\right)=\widehat{\mathrm{CAP}}=45°$ hay $\left(\widehat{\mathrm{MN};\mathrm{AP}}\right)=45°$

Xét hàm số f(x) trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$, khi đó:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\mathrm{sinx}\mathrm{khi}x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\cup \left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]\\ 1+\mathrm{cosx}\mathrm{khi}x\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)\end{array}$

 

Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0=f\left(0\right)$; $\underset{x\to 2{\pi }^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0=f\left(2\pi \right)$.

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$; $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ và $\left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$.

Ta xét tại $x=\frac{\pi }{2}$:

$\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }\left(1+\mathrm{cosx}\right)=1$;$\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }\left(1+\mathrm{cosx}\right)=1$; $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$

 

 Như vậy $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$=f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{2}$

Ta xét tại $x=\frac{3\pi }{2}$ :

$\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }\sin x=-1$ ; $\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }\left(1+\cos x\right)=1$; 

 

 

Vì $\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ nên hàm số f(x) gián đoạn tại điểm $x=\frac{3\pi }{2}$

Do đó, trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$ hàm số chỉ gián đoạn tại điểm $x=\frac{3\pi }{2}$

Do tính chất tuần hoàn của hàm số y = cosx và y = sinx suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi$$,k\in \mathbb{Z}$

Ta có $x\in \left(0;2021\right)$$\iff 0<\frac{3\pi }{2}+k2\pi <2021$$\iff -\frac{3}{4}<k<\frac{2021}{2\pi }-\frac{3}{4}\approx 320.902$

Vì  $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{0,1,2,....,320\right\}$

Vậy, hàm số f gián đoạn tại các điểm $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi$ với $k\in \left\{0,1,2,....,320\right\}$.