Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 12)

5 câu · Đề giữa kì 2

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to + \infty} \frac{3 x + 1}{6 x - 1}$

b) $\lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} - 9}$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3 x + 4} - 2}{x}$

d) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3 x + 4} - 2}{x}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Câu 2

Câu tự luận

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x³ + 3x² + 2.

b) $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ .

c) y = (x² - 2x + 2)(x² + 1).

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Tính đạo hàm của các hàm số sau: (ảnh 1)

Câu 3

Câu tự luận

Xét tính liên tục của hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \frac{3 x^{2} - 4 x - 32}{x^{2} - 16} k h i x \neq 4 \\ \frac{5}{2} k h i x = 4 \end{matrix}$ tại điểm x₀= 4.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Xét tính liên tục của hàm số fx 3x^2-4x-32/x^2-16 tại điểm x0 = 4. (ảnh 1)

Câu 4

Câu tự luận

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam vuông cân tại A, AB = $a \sqrt{2} .$ Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và $S A = a \sqrt{6} .$

Gọi M là trung

điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAM)

b) Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)
c) Gọi điểm I là hình chiếu vuông góc của điểm A lên cạnh SC và H là giao điểm
của BI và SM. Chứng minh H là trực tâm của tam giác SBC.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam vuông cân tại A, AB = (ảnh 1)

a) Ta có: SA ^ (ABC) suy ra SA ^ BC.

Tam giác ABC vuông cân tại A với M là trung điểm của BC nên suy ra AM ^ BC

Do đó BC ^ (SAM).

b) Ta có CA ^ AB và do SA ^ (ABC) nên SA ^ AC.

Do đó AC ^ (SAB).

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc .

Ta có: $\tan \hat{C S A} = \frac{C A}{S A} = \frac{a \sqrt{2}}{a \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Do đó . $\hat{C S A} = 30 °$

c) Ta có

+) BC ^ (SAM) Þ BC ^ SM (1)

+) BA ^ SA và BA ^ AC nên suy ra BA ^ (SAC) Þ BA ^ SC

Lại có AI ^ SC.

Nên suy ra SC ^ (BAI) Þ SC ^ BI (2)

Từ (1) và (2), xét trong tam giác SBC nên H là trực tâm của tam giác SBC.

Câu 5

Câu tự luận

Chứng minh rằng phương trình a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x luôn có nghiệm với mọi tham số a, b, c.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x.

Xét hàm số f (x) = a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x - 2a.sin³ x.

+) Với a = 0 Þ f (x) = b.cos³ x - 2c.cos x = cos x.( b.cos² x - 2c) = 0

Nên luôn cho nghiệm cos x = 0 (*)

+) Với a ¹ 0 Þ f (x) = a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x - 2a.sin³ x

f (x) liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn (1)

Ta có: $\begin{matrix} f (- \frac{π}{2}) = 2 a \\ f (\frac{π}{2}) = - 2 a \end{matrix}}$

$\Rightarrow f (- \frac{π}{2}) . f (\frac{π}{2}) = 2 a . (- 2 a) = - 4 a^{2} < 0$ (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ (**)

Từ (*) và (**), vậy suy ra phương trình a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x luôn có nghiệm với mọi tham số a, b, c.