ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt nón, khối nón

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy r, độ dài đường cao h và độ dài đường sinh l là:

Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h là:

Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120⁰ và đường cao bằng 2. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = 2. Biết diện tích xung quanh của hình nón là $2\sqrt{5}\pi$. Tính thể tích khối nón.

Cho hình nón có các kích thước r = 1; h = 2 với r,hr,h lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:

Cho tam giác ABO vuông tại O, có góc $\widehat{BAO}={30}^0,AB=a.$ Quay tam giác ABO quanh trục AO ta được một hình nón có diện tích xung quanh bằng:

Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng $9\pi$. Khi đó chiều cao h của hình nón bằng:

Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a = 3 . Tính độ dài đường cao của hình nón.

Một hình nón có bán kính đáy bằng 1, chiều cao nón bằng 2. Khi đó góc ở đỉnh của nón là $2\phi$  thỏa mãn

Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là:

Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $3\pi a^2$ và bán kính đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.

Cho mặt cầu tâm O  bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón N có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao h (h > R). Tìm hh để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất.

Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy là O, góc ở đỉnh là 135⁰. Trên đường tròn đáy lấy điểm A cố định và điểm M di động. Tìm số vị trí M để diện tích SAM đạt giá trị lớn nhất

Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số $\frac{h}{r}$.

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy AD,BC; AD = 3BC = 3a, AB = a,$SA=a\sqrt{3}$. Điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AI}$; M là trung điểm SD, H là giao điểm của AM và SI. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD).

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm AB. Cho tứ giác AMCD và các điểm trong của nó quay quanh trục AD ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.

Cho tam giác ABC đều, có diện tích bằng s₁ và AH là đường cao. Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được hình nón có diện tích xung quanh bằng s₂. Tính $\frac{s_1}{s_2}$.

Một cái phễu có dạng hình nón có chiều cao 15(cm). Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao ban đầu của cái phễu (hình 1). Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên (hình 2) thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn).

Một cái phễu có dạng hình nón. Chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10cm. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?

Cho hình nón N₁ có chiều cao bằng 40cm. Người ta cắt hình nón N₁ bằng một mặt phẳng song song với đáy của có để được một hình nón nhỏ N₂ có thể tích bằng 18 thể tích N₁. Tính chiều cao h của hình nón N₂?

Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng $2a\sqrt{3}$, góc ở đỉnh là 120⁰. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất Smax của thiết diện đó là bao nhiêu?

Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy là hình thoi cạnh a và góc $\widehat{BAD}=q$. Mặt chéo ACC′A′ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đồng thời $AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình thoi có góc $\widehat{A^{\text{'}}AC}={60}^0$.

Tính tan góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′) và (ABCD).

Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy là hình thoi cạnh a và góc $\widehat{BAD}=q$. Mặt chéo ACC′A′ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đồng thời $AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình thoi có góc $\widehat{A^{\text{'}}AC}={60}^0$.

Tính thể tích khối tứ diện ACB′D′.

Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy là hình thoi cạnh a và góc $\widehat{BAD}=q$. Mặt chéo ACC′A′ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đồng thời $AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình thoi có góc $\widehat{A^{\text{'}}AC}={60}^0$.

Tính diện toàn phần của hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$ và chiều cao bằng chiều cao của lăng trụ.