ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Ứng dụng tích phân để tính thể tích

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là:

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $$y=x^3$$, trục hoành và hai đường thẳng x=0,x=1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox được tính bởi:

Cho hình (H) giới hạn bởi đường cong $$y^2+x=0$$, trục Oy và hai đường thẳng y=0,y=1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy được tính bởi:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi $$y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2$$ và Ox.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H)  quanh Ox bằng :

Kí hiệu (H)  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $$y=2(x-1)e^x$$, trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H)  xung quanh trục Ox .

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $$y=x^2+1;x=0$$ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số $$y=x^2+1$$ tại điểm A(1;2) quanh trục Ox là

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $$y=\sqrt{x},y=0$$ và x=4 quanh trục Ox . Đường thẳng $$x=a(0<a<4)$$ cắt đồ thị hàm số $$y=\sqrt{x}$$ tại M (hình vẽ bên).

Cho hai hàm số $$y=f_1\left(x\right)$$và$y=f_2\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $$\left[a;b\right]$$và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x=a,x=b. Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây ? 

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  $$y=\sqrt{2-x};y=x$$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?

Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x=a và x=b(a<b), mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện S(x). Thể tích của V được tính bởi:

Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=−2, mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện $$S(x)=2x^2$$. Thể tích của V được tính bởi:

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=1 và x=3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $$x(1\le x\le 3)$$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và $$\sqrt{3x^2-2.}$$

Cho hình phẳng giới hạn bởi $$D=\left\{y=\tan x;y=0;x=0;x=\frac{\pi }{3}\right\}.$$ Thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh trục Ox là $$V=\pi (a-\frac{\pi }{b}),$$ với a,b∈R.. Tính $$T=a^2+2b.$$.

Tính thể tích khi $$S=\left\{y=x^2-4x+6;y=-x^2-2x+6\right\}$$ quay quanh trục Ox.

Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi trục Ox và parabol $$(P):y=x^2-ax(a>0)$$bằng V=2. Khẳng định nào dưới đây đúng ?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $$y=-x^2+2x$$ và y=0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Oy là

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường $$\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$$quay quanh Oy?

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $$y=-\sqrt{4-x^2},x^2+3y=0$$ quay quanh trục Ox là $$V=\frac{a\pi \sqrt{3}}{b}$$, với a,b> và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng T=a+b.

Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn  có phương trình $$x^2+{\left(y-2\right)}^2=1$$ khi quanh trục Ox..

Gọi (D₁) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $$y=2\sqrt{x},y=0v\grave{a}x=2020,$$, (D₂) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $$y=\sqrt{3x},y=0$$ và $$x=2020.$$. Gọi V₁,V₂ lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D₁)  và (D₂) xung quanh trục Ox. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng: