ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

Cho $$d,d^{\prime }$$ là các đường thẳng có VTCP lần lượt là $$\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\prime },M\in d,M\prime \in d\prime$$Khi đó $$d\equiv d\prime$$ nếu:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{c}x=1-3t\\ y=-t\\ z=1-2t\end{array}$ và $$d_2:\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2}$$.

Vị trí tương đối của d₁ và d₂ là:

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là:

Cho d,d′ là các đường thẳng có VTCP lần lượt là $$\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\prime ,M\in d,M\prime \in d\prime .$$Nếu $$\left[\vec{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]\overrightarrow{M{M}^{\prime }}\ne 0$$thì:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$$d_1:\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{1}$$và $d_2:\{\begin{array}{c}x=t\\ y=2\\ z=2+t\end{array}$ Vị trí tương đối của d₁ và d₂ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=-1+2t\\ y=-t\\ z=-2-t\end{array}$. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với d?

Công thức tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′ đi qua điểm M′ và có VTCP $\overrightarrow{u^{\prime }}$là:

Khoảng cách từ điểm M(2;0;1) đến đường thẳng $$\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$$ là:

Cho hai điểm A(1;−2;0),B(0;1;1), độ dài đường cao OH của tam giác OAB là:

Cho hai đường thẳng $$\Delta ,\Delta \prime$$ có VTCP lần lượt là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}$ và đi qua các điểm M,M′. Khi đó:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{c}x=2+2t\\ y=-1+t\\ z=1\end{array},d_2:\{\begin{array}{c}x=1\\ y=1+t\\ z=3-t\end{array}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$$d_1:\frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1},d_2:\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=1+2t\\ z=-1+t\end{array}$$ và điểm A(1;2;3).

Đường thẳng Δ qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 có phương trình là:

Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}$ thỏa mãn:

Cho hình lập phương A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),A′(0;0;1). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khoảng cách giữa MN và A′C là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;2), B(1;0;0), C(2;2;0) và D(0;m;0). Điều kiện cần và đủ của m để khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 2 là:

Trong  không  gian với   hệ  tọa  độ Oxyz,  cho đường  thẳng d có phương trình $$\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-4}$$ và $$d\prime :\frac{x+1}{4}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}$$. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d nhưng thuộc đường thẳng d′?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3\end{array}$và $d_2:\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+7t\\ z=3+t\end{array}$. Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa d1 và d2 là:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(−2;−2;1),A(1;2;−3) và đường thẳng $$d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}.$$ Gọi $$\Delta$$ là đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng d, đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. Khoảng cách bé nhất đó là

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $$d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-2}{1}$$ và 2 điểm A(6;3;−2); B(1;0;−1). Gọi $$\Delta$$ là đường thẳng đi qua B, vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến $$\Delta$$ là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của $$\Delta$$ có tọa độ :

Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;−2) và đường thẳng $$d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}$$. Đường thẳng qua A và song song với d có phương trình tham số là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2-t\\ z=1-3t\end{array}$. Đường thẳng $$\Delta$$ đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục hoành Ox và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là: