Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 29

Tập xác định của hàm số $$y={\left(x^2-6x+9\right)}^{\sqrt{3}}$$ là

Có bao nhiêu cách xếp 4 học sinh ngồi vào một dãy gồm 6 chiếc ghế sao cho mỗi chiếc ghế có nhiều nhất một học sinh ngồi?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Các số thực dương $x,y\ne 1$ thỏa mãn ${\log }_{2}x={\log }_{y}16$ và $xy=64$. Giá trị của biểu thức ${\left({\log }_2\frac{x}{y}\right)}^2$ bằng ___.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hình thang $$ABCD$$ vuông tại $$A$$ và $$B$$ có $$AB=2$$, $$AD=8$$ và $$BC=x$$ với $$0<x<8$$. Gọi $$V_1$$, $$V_2$$ lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang $$ABCD$$ (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng $$BC$$ và $$AD$$. Để $\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{2}$ thì $x$ bằng __.

Trong một phép thử với $A,B$ là hai biến cố bất kì, biết rằng $P\left(A\right)=0,5$; $P\left(AB\right)=0,3$. Khi đó $P\left(B|A\right)$ bằng

Cho hàm số $y=e^x$ có đồ thị $\left(C\right)$. Hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi các đồ thị $\left(C\right)$, tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại điểm $M\left(1;e\right)$ và đường thẳng $y=-\frac{1}{e}x$ được tô đậm như hình vẽ.

y=ex có đồ thị $\left(C\right)$. Hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi các đồ thị $\left(C\right)$, tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại điểm \(M\left( { (ảnh 1)">

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một cái ly nước hình hình trụ có chiều cao 9 cm. Lượng nước trong ly chiếm $\frac{2}{3}$ thể tích ly nước. Hoa đặt một viên kim cương hình lập phương vào miệng ly nước thì thấy một đỉnh của viên kim cương chạm vào mặt nước, đồng thời mô hình ly nước và kim cương cùng lấy trục ly nước làm trục đối xứng. Nếu ban đầu Hoa đổ nước đầy ly thì sau khi đặt khối lập phương như trên, lượng nước tràn ra là $$\frac{a\sqrt{3}}{b}$$ cm³ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ bằng ___.

Trong không gian $$Oxyz$$, mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+z^2=12$ và song song với mặt phẳng $\left(Ox\mathrm{z}\right)$ có phương trình là:

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Jack có một chiếc điện thoại thông minh đã được sạc đầy pin. Nếu Jack không sử dụng điện thoại một phút nào thì máy sẽ hết pin sau 96 tiếng; còn nếu anh ấy sử dụng điện thoại liên tục thì máy sẽ hết pin sau 8 tiếng. Biết Jack đã không sử dụng chiếc smartphone trong suốt 36 tiếng, sau đó lại dùng nó 90 phút liên tục. Jack còn dùng điện thoại được ___ phút nữa trước khi máy hết pin.

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(9-x^2\right)<0$ chứa bao nhiêu số nguyên?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm $M\left(1;2;3\right)$, gọi $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục $\mathrm{Ox},\mathrm{Oy},\mathrm{Oz}$. Mỗi phát biểu sau đây đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x-y\le 2\\ x+y\ge 0\\ x+y\le 4\end{array}$ có miền nghiệm được biểu diễn là hình tứ giác (H) phần không tô màu (tham khảo hình vẽ).

Giá trị lớn nhất của biểu thức $L=2x+y$ bằng  __ đạt được tại $x=$ __ ; $y=$ __ .

Cho số nguyên $m>0$. Nếu $\left(a-b\right)⋮m$ thì ta nói $a$ đồng dư với $b$ theo môđun $m$ và ký hiệu $a\equiv b\left(\mathrm{mod}m\right)$. Chẳng hạn $7\equiv 3\left(\mathrm{mod}2\right)$ vì $7-3=4⋮2$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt, thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Kết thúc giải đấu, tổng cộng số điểm của tất cả 10 đội là 130. Có __ trận hòa.

Khảo sát một nhà máy dệt may, người ta thấy có $80\%$ công nhân thuận tay phải và $25\%$ công nhân có độ tuổi trên 35 . Giả sử độ tuổi không ảnh hưởng đến đặc điểm thuận tay nào. Gặp ngẫu nhiên một công nhân trong nhà máy. Tính xác suất của biến cố công nhân đó thuận tay phải hoặc có độ tuổi trên 35 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ.

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(2f\left(x\right)-1\right)$.

Số điểm cực trị của hàm số $g\left(x\right)$ là __ .

Số điểm cực đại của hàm số $g\left(x\right)$ là: __ .

Số nghiệm của phương trình $g\left(x\right)=0$ là __ .

Giá trị lớn nhất của hàm số $g\left(x\right)$ trên đoạn $\left[0;1\right]$ là __ .

Cho biết chu kỳ bán rã của chất phóng xạ Plutoni Pu239 là 24360 năm. Sự phân hủy được tính theo công thức $S=A\cdot e^{rt}$. Trong đó A là số lượng chất phóng xạ ban đầu, $r$ là tỷ lệ phân hủy hằng năm ( $\mathrm{r}<0$ ), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy $t$. Hỏi 10 gam Pu239 sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left(2;-2;1\right)$ trọng tâm $G,M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Biết điểm $G$ thuộc đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{2}$ và điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left(P\right):\mathrm{x}+2y-3z-1=0$. Đường thẳng $AM$ có một vectơ chỉ phương là:

Biết hàm số $f\left(x\right)=\frac{x+a}{x+1}$ ( $a$ là số thực cho trước và $a\ne 1$ ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

f(x)=x+1x+a​ ( $a$ là số thực cho trước và $a\ne 1$ ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mỗi phát biểu sau đây đúng hay sai? (ảnh 1)">

Mỗi phát biểu sau đây đúng hay sai?

Trong Vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức $x\left(t\right)=A\cos \left(\omega t+\phi \right)$, trong đó $t$ là thời điểm (tính bằng giây), $x\left(t\right)$ là li độ của vật tại thời điểm $t,A$ là biên độ dao động $(A>0),\omega t+\phi$ là pha của dao động tại thời điểm $t$ và $\phi \in \left[-\pi ;\pi \right]$ là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hoà này có chu kì $T=\frac{2\pi }{\omega }$ (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần). Giả sử một vật dao động điều hoà theo phương trình $x\left(t\right)=-5\cos 4\pi t\left(\mathrm{cm}\right)$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cạnh đáy bằng $a$, chiều cao bằng $2a$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ qua $B^{\prime }$ và vuông góc với $A^{\prime }C$ chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là $V_1$ và $V_2$ với $V_1<V_2$.

Thể tích của khối $V_1$ là __________ .

Thể tích của khối $V_2$ là __________ .

Thể tích của khối $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là __________ .

Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Có ___ giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-10;10\right]$ để bất phương trình ${\left(6+2\sqrt{7}\right)}^x+\left(2-m\right){\left(3-\sqrt{7}\right)}^x-\left(m+1\right)2^x\ge 0$ nghiệm đúng với $\forall x\in \mathbb{R}$.

Có 5 người nam và 3 nữ cùng đến dự hội nghị. Họ không quen biết nhau và cả 8 người cùng ngồi một cách ngẫu nhiên vào xung quanh một cái bàn tròn có 8 ghế (mỗi người ngồi đúng một ghế). Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Cho phương trình ${\left(\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{9}x\right)}^2+m\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}x+2m+3=0$ có ẩn là $x$ và $m$ là tham số.

Đặt $t=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}x$, xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Điền các số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm $2,3,9$ lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Biết số thứ ba là số dương. Số hạng thứ nhất là __ và số hạng thứ hai là __.

Người ta ghi lại tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) của một số nhà đầu tư (với số tiền đầu tư như nhau), khi đầu tư vào hai lĩnh vực $A,B$ cho kết quả như sau:

Người ta có thể dùng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro đầu tư các lĩnh vực có giá trị trung bình tiền lãi gần bằng nhau. Lĩnh vực nào có phương sai, độ lệch chuẩn tiền lãi cao hơn thì được coi là có độ rủi ro lớn hơn. Theo quan điểm trên thì độ rủi ro khi đầu tư vào hai lĩnh vực như thế nào?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }\left(x\right)\ge x^4+\frac{2}{x^2}-2x,\forall x>0$ và $f\left(1\right)=-1$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Nếu hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^{2025}+a{e}^{x^{2024}}+b\mathrm{khi}x<0\\ \ln \left(x^{2024\cdot 2025}+1\right)+3\mathrm{khi}0\le x\le 1\\ 3x^{2025}+\ln \left(2\cdot e^b\right)\mathrm{khi}x>1\end{array}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $a$ bằng __ , b bằng __ .

Hai nhà máy được đặt tại các vị trí $A$ và $B$ cách nhau $4km$. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí $C$ trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, cách trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ một khoảng là 3 km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy $A,B$ đến nhà máy xử lí nước thải $C$ gồm các đoạn thẳng $AI,BI$ và $IC$,với $I$ là vị trí nằm giữa $M$ và $C$. Cần chọn vị trí điểm $I$ để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

A và $B$ cách nhau $4km$. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí $C$ trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, cách trung điểm $M$ của đo (ảnh 1)">

Số $2^{2024}$ có chữ số hàng chục và hàng đơn vị lần lượt là $a;b$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=5^{x^2}\left(x^3-9x\right)$. Hàm số $F\left(x\right)$ có các điểm cực trị lần lượt là $x_1,x_2,x_3\left(x_1<x_2<x_3\right)$, giá trị của biểu thức $T=x_1+x_2.x_3$ là ___.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Giả sử điểm $M$ thuộc $AC$, điểm $N$ thuộc $D{C}^{\prime }$ và $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DN}=y\overrightarrow{D{C}^{\prime }}$. Có một cặp $\left(x;y\right)$ sao cho $MN//B{D}^{\prime }$, khi đó giá trị của $x$ là __________ , $y$ là __________ .

Một đa giác có 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh?

Cho hai điểm A, B cố định trong không gian có độ dài AB là $4$. Biết rằng tập hợp các điểm $M$ trong không gian sao cho $MA=3MB$ là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm nằm trên hai cạnh SC, SD sao cho $$\frac{SM}{SC}=\frac{1}{2},\frac{SN}{ND}=2.$$ Biết $G$ là trọng tâm tam giác SAB. Tỉ số thể tích $$\frac{V_{G.MND}}{V_{S.ABCD}}=\frac{m}{n},$$m,n là các số nguyên dương và $\left(m,n\right)=1$. Giá trị của $m+n$ bằng ___.

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho bộ ba số nguyên dương $(a;b;c)$ thỏa mãn

$$\log 1+\log \left(1+3\right)+\log \left(1+3+5\right)+\cdots +\log \left(1+3+5+\cdots +19\right)-2\log 5040=a+b\log 2+c\log 3.$$

Giá trị $$P=a+b+c$$ bằng ___.

Cho các hàm số $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$ và $$y=\frac{f\left(x\right)+3}{g\left(x\right)+1}.$$ Hệ số góc các tiếp tuyến của các đồ thị tại $x=1$ bằng nhau và khác $0$.

Khẳng định nào sau đây đúng?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 9 dư 13. Số đó chia cho 1292 có số dư là _____.