Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 27

Trong không gian $$Oxyz$$, cho hai điểm $$A\left(1;2;-3\right),B\left(7;4;-2\right).$$Điểm $$M$$ thoả mãn $$\overrightarrow{BM}=-5\overrightarrow{MA}$$là

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=2,$ công sai $d=3.$ Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một người có miếng tôn hình tròn có bán kính bằng $10$(m). Người này tính trang trí sơn vẽ trên tấm tôn đó, biết tiền chi phí tiền công sơn mỗi mét vuông hết $30$ nghìn đồng. Tuy nhiên cần có một khoảng trống để treo tấm tôn nên người này bớt lại một phần tấm tôn nhỏ không trang trí (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó $AB=12$(m). Khi trang trí xong người này hết _____ nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một tổ có 5 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai bạn. Tính xác suất sao cho trong hai bạn được chọn có ít nhất một bạn là nam.

Một giáo viên ghi lại điểm kiểm tra giữa kì I môn Toán của hai lớp 10A và 10B có kết quả ghi lại ở bảng sau:

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho lăng trụ $$ABC.A_1{B}_1{C}_1$$ có thể tích khối chóp $C.AB{B}_1{A}_1$ bằng 8. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ là ___.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua hai điểm $A\left(0;1;0\right),B\left(2;3;1\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(Q\right):x+2y-z=0$ đi qua điểm nào dưới đây?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho ba véctơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ thỏa mãn: $\left|\overrightarrow{a}\right|=4;\left|\overrightarrow{b}\right|=1;\left|\overrightarrow{c}\right|=5$ và $5\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)+3\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$. Khi đó giá trị của biểu thức $M=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$ là ___.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x^2-3x}{e^x}$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Quan sát hai hàng hoá thịt lợn và gạo người ta nhận thấy trong mỗi ngày giao dịch, nếu gạo không giảm giá thì thịt lợn giảm giá với xác suất $\frac{2}{5}$. Ngược lại, nếu thịt lợn không giảm giá thì gạo giảm giá với xác suất $\frac{4}{7}$. Hơn nữa, xác suất để cả thịt lợn và gạo giảm giá trong cùng một ngày là 0,1. Biết xác suất để có ít nhất một trong hai hàng hoá thịt lợn và gạo giảm giá trong một ngày giao dịch là $\frac{m}{n}$($m,n\in \mathbb{N},\frac{m}{n}$ là tối giản ), Giá trị biểu thức $T=9m+5n$ bằng ____.

Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và đường thẳng $b\not\subset \left(\alpha \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Biết rằng $$\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{3\mathrm{x}+1}{2{\mathrm{x}}^2-x-1}d\mathrm{x}=a\ln 2+b\ln 5+c\ln 7$$ trong đó $$a,b,c\in \mathbb{Q}$$. Tính$$P=a+b+c.$$

Cho hàm số $$f\left(x\right)$$ liên tục trên $$\mathbb{R}$$ và thỏa mãn $$f\left(x\right)+2xf\left(x^2\right)=2x^7+3x^3-x-1$$ với $$x\in \mathbb{R}$$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Nhà nghiên cứu chọn một nhóm người đàn ông, với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:

Nhà nghiên cứu phải tiến hành kiểm tra tối thiểu _____ người đàn ông để xác suất người đó bị viêm phổi trong khi người đó không nghiện thuốc lá không vượt quá $\frac{1}{7}$.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Bạn Long gieo một xúc xắc cân đối đồng chất liên tiếp nhiều lần.

Nếu bạn Long gieo 1 lần thì xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là __________ .

Để xác suất trong các lần gieo đó có xuất hiện mặt 6 chấm lớn hơn 0,9999 thì bạn Long cần gieo ít nhất  ___ lần.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một giải đấu bóng đá có 16 đội tuyển tham dự. Nếu ta chia ngẫu nhiên các đội trên thành 4 bảng, mỗi bảng 4 đội thì có _________ cách chia.

Cho phương trình $\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)=\tan x+\cot x$. Nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác?

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left(1;3;1\right),B\left(3;2;2\right)$. Mặt cầu đi qua hai điểm $A,B$ và có tâm thuộc trục $Oz$ có bán kính bằng

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Xét dãy số $\left(u_n\right)$ gồm các số tự nhiên liên tiếp. Bằng cách bỏ đi các số chính phương trong dãy số $\left(u_n\right)$ , ta thu được dãy số mới là $\left(v_n\right)$.

Số hạng thứ 2042 của dãy số $\left(v_n\right)$ là _____ .

Số 2024 là số hạng thứ  _____ của dãy số $\left(v_n\right)$.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi: $u_1=\frac{1}{3}$ và $u_{n+1}=\frac{n+1}{3n}\cdot u_n$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ có đồ thị $\left(C\right)$. Có __ tiếp tuyến của đồ thị $\left(C\right)$ song song với đường thẳng $\mathrm{\Delta }:y=x+1$.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho $n$ là số tự nhiên.

Có  __ số tự nhiên $n\ne 0$ thỏa mãn $2n+1$ chia hết cho $n-1$.

Có  __ số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n-4$ chia hết cho $2n-1$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left(1;0;0\right),B\left(0;1;0\right)$. Mặt phẳng đi qua các điểm $A,B$ đồng thời cắt tia $Oz$ tại $C$ sao cho tứ diện $OABC$ có thể tích bằng $\frac{1}{6}$ có phương trình dạng $x+ay+bz+c=0$. Khi đó giá trị của biểu thức $a+3b-2c$ bằng bao nhiêu?

Điền các số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Lượng vi khuẩn $X$ sinh sôi sau một khoảng thời gian $t$ (tính theo giờ) có thể được cho bởi công thức $P\left(t\right)=a{\sqrt{b}}^t$ với $a,b$ là các hằng số dương. Đồ thị của hàm số $Q\left(t\right)=\log P\left(t\right)$ với $t\ge 0$ là một nửa đường thẳng được cho trong hình sau.

Khi đó $a=$ ____ và $b=$ ___.

Định luật làm mát của Newton phát biểu rằng tốc độ làm mát của một vật tỉ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa vật đó và môi trường xung quanh, với điều kiện là chênh lệch này không quá lớn. Giả sử $T\left(t\right)$ là nhiệt độ của vật thể (đơn vị: độ C) tại thời điểm $t$ (đơn vị: phút) và $T_s$ là nhiệt độ của môi trường xung quanh, chênh lệch giữa nhiệt độ của vật thể và môi trường xung quanh là $y\left(t\right)=T\left(t\right)-T_s$ thì $\frac{y^{\prime }\left(t\right)}{y\left(t\right)}=k$ với $k$ là hằng số.

Một cốc nước đang ở nhiệt độ phòng là $22^{\circ }\mathrm{C}$ được đưa vào ngăn mát tủ lạnh có nhiệt độ là $5^{\circ }\mathrm{C}$. Sau 30 phút, nhiệt độ của cốc nước được đo lại là $16^{\circ }C$. Giả sử $T\left(t\right)$ là nhiệt độ của cốc nước, $y\left(t\right)$ là nhiệt độ chênh lệch giữa cốc nước và nhiệt độ ngăn mát tủ lạnh sau khoảng thời gian $t$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC$, $BC$; $P$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Mặt phẳng $\left(MNP\right)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(m-1\right)x^3+2m{x}^2+1$, với $m$ là tham số.

Với $m=$ __ , hàm số đã cho có một điểm cực trị.

Có  ___ giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[-10;10\right]$ để $\underset{\left[-2;3\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(3\right)$.

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}7}=27,b^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{7}11}=49,c^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{11}25}=\sqrt{11}$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Tính $\lim \left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\dots +\frac{n}{n^2+n}\right)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(3;1;1\right),N\left(4;3;4\right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-7}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-9}{1}$. Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Góc lượng giác  __________ rad tương ứng với chuyển động quay 3,2 vòng ngược chiều kim đồng hồ.

Trên đường tròn đường kính bằng 4 cm, cung có số đo $\frac{\pi }{5}$ thì có độ dài bằng  __________ cm.

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left(x^3+3x+1\right)=x+3$. Tính $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Trong mặt phẳng cho 9 điểm phân biệt: A, B, C, D, E, F, G, H, I. Số đoạn thẳng được tạo thành có hai đầu mút thuộc tập hợp 9 điểm đã cho là ___.

Bác Nam muốn xây một bể bơi hình hộp chữ nhật không nắp. Biết rằng chiều dài của bể bơi gấp 3 lần chiều rộng của bể bơi, thể tích chứa nước của bể là 1000m³ nước. Để xây bể, bác Nam đã dự tính kinh phí phụ thuộc vào diện tích mặt của bể bơi. Hỏi, diện tích mặt của bể bơi là bao nhiêu thì kinh phí xây dựng bể bơi là thấp nhất?

Một khối bê tông cao 2 m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng nằm ngang, cách mặt đất $x\left(m\right)\left(0\le x\le 2\right)$ thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài 5 m, chiều rộng $(0,5{)}^x\left(m\right)$ (Hình).

x(m)(0≤x≤2) thì được mặt cắt là h (ảnh 1)">

Tính thể tích của khối bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ để khảo sát tình trạng bệnh sơ gan của người dân, tỉ lệ người dân bị bệnh sơ gan là $0,8\%$ và $60\%$ trong số đó bị dương tính với viêm gan B. Tuy nhiên, có $10\%$ những người không bị sơ gan mặc dù dương tính viêm gan B. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó dương tính với viêm gan B. Xác suất người đó bị mắc bệnh sơ gan là $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị$a+b$ bằng ___.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26. Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng một lúc ba tấm thẻ. Có _____ cách rút sao cho bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Trong không gian với hệ tọa độ $$Oxyz$$, cho mặt phẳng $\left(P\right)$ có phương trình $x-y-z-3=0$ và hai điểm $A\left(1;-3;-4\right),B\left(1;2;1\right)$.Khi đó:

Khoảng cách từ điểm A đến $\left(P\right)$ là __________ .

Cho điểm $M$ di động trên $\left(P\right)$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M{A}^2+4M{B}^2$ bằng _______ .