Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 26

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$ quay quanh trục $$Ox$$ là

Một người điều khiển ô tô đang ở trên đường cao tốc muốn tách làn ra khỏi đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm tách làn 300 m, tốc độ của ô tô là $72km/h$. Năm giây sau đó, ô tô bắt đầu giảm tốc với tốc độ $v\left(t\right)=at+b(m/s)$ với $(a,b\in \mathbb{R},a<0)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc. Biết rằng ô tô tách khỏi làn đường cao tốc sau 12 giây và duy trì sự giảm tốc trong 18 giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3x^2+\mathrm{cosx}$ là

Cho hàm số $f\left(x\right)=2^x-2^{-x}$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA\perp \left(ABCD\right)$, số đo của góc nhị diện $\left[S,BC,A\right]$ bằng $60^{\circ }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng $\frac{a\sqrt{30}}{n}$. Giá trị của $n$ bằng ___.

Bên trong hình vuông cạnh 4, dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình).

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có hai hộp đựng bi, các viên bi có cùng kích thước và cùng khối lượng. Hộp I đựng 9 viên bi mỗi viên bi đánh một số là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9; Hộp II đựng 8 viên bi mỗi viên bi đánh một số là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 . Bạn Hoa và Bình tham gia trò chơi như sau: Bạn Hoa chọn ngẫu nhiên ba viên bi trong hộp I và sắp xếp các số trên viên bi theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số gồm ba chữ số. Bạn Bình chọn ngẫu nhiên ba viên bi trong hộp II và sắp xếp các số trên viên bi theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số gồm ba chữ số. Hoa sẽ là người thắng cuộc nếu số của Hoa lớn hơn số của Bình. Biết xác suất Hoa là người thắng cuộc là $\frac{a}{b},a\in \mathbb{N},b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của $T=a+2b$ bằng ____.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Khi khảo sát một nhóm học sinh có 50 em về các môn thể thao các em yêu thích. Người ta thấy rằng có 31 em thích chơi đá bóng, 12 em thích chơi cầu lông, 5 em vừa thích chơi đá bóng và vừa thích chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh đó.

Xác suất để học sinh đó thích chơi đá bóng hoặc thích chơi cầu lông bằng __________ .

Xác suất để học sinh đó thích chơi đá bóng và không thích chơi cầu lông bằng __________ .

Số nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(x^2+4x\right)+{\log }_{\frac{1}{3}}5=0$ là:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

y=f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: (ảnh 1)">

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi và số người dự thi như sau:

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x+2$có đồ thị là $(C).$ Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trên đường Bình đi từ nhà $O$ đến trường học $Q$ có điểm $K$ đang bị ngập nên không thể đi qua $K$. Biết rằng Bình chỉ được đi sang phải hoặc đi lên. Có ___ cách đi từ $O$ đến $Q$ mà không đi qua điểm $K$.

Điền các số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$, biết $u_1=3$ và $u_4=9$. Khi đó công sai $d$ bằng __ và giá trị của $u_{15}$ bằng ___.

Nếu $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=5$ thì $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}4f(x)\mathrm{d}x$ bằng:

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $$Oxyz$$ cho ba mặt phẳng: $\left(P\right):x-2y+z-1=0$, $\left(Q\right):x-2y+z+8=0$, $\left(R\right):x-2y+z-4=0$. Một đường thẳng $$d$$ thay đổi cắt ba mặt phẳng $\left(P\right)$, $\left(Q\right)$, $\left(R\right)$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$. Giá trị nhỏ nhất của $T=A{B}^2+\frac{144}{AC}$ bằng ____.

Trong không gian $$Oxyz$$, cho điểm $M\left(2;-1;4\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):3x-2y+z+1=0$. Phương trình của mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $\left(P\right)$ là

Xét tam giác ABC có $AC=2AB$ và $BC=10cm$. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho $AD=\frac{1}{4}AC$, trên cạnh AB lấy điểm E sao cho $AE=\frac{1}{4}AB$, trên cạnh AD lấy điểm F sao cho $AF=\frac{1}{4}AD$ và tiếp tục lấy các điểm G, H, I, J... (vô hạn lần) theo quy luật đó.

AC=2AB và $BC=10cm$. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho $AD=\frac{1}{4}AC$, trên cạnh AB lấy điểm E sao cho $AE=\frac{1}{4}AB$, trên cạnh AD lấy điểm F sa (ảnh 1)">

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\mathrm{Oxyz}$ với đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét và mặt phẳng $\left(\mathrm{Oxy}\right)$ trùng với mặt đất. Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $\mathrm{A}\left(-40;5;2\right)$ và chuyển động thẳng đến điểm $\mathrm{B}\left(808;-101;426\right)$ với tốc độ là $6$m/s. Thời gian cabin cáp treo đi từ A đến B là  ____ giây. Sau khi di chuyển từ A được 1 phút, cabin cáp treo cách mặt đất  ____ mét.

Tại tỉnh X, 20% dân số nghiện thuốc lá. Trong số những người nghiện thuốc lá, có 70% mắc bệnh phổi. Trong số những người không nghiện thuốc lá, có 15% mắc bệnh phổi. Một người được chọn ngẫu nhiên trong dân số tỉnh X. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Nghiệm của phương trình $5^{\mathrm{x}-1}-17=0$ là:

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số bậc ba $$y=f\left(x\right)$$ có đồ thị là đường cong trong dưới đây.

Số nghiệm thực của phương trình $$f\left(x\right)=1$$ là __.

Trong không gian $$Oxyz$$, tọa độ một vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;1;-2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(1;0;3\right)$ là

An và Bình không quen biết nhau và học ở hai nơi khác nhau. Xác suất để An và Bình đạt điểm giỏi về môn Toán trong kì thi cuối năm tương ứng là 0,92 và 0,88. Tính xác suất để cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M\left(2;3;-1\right),N\left(-1;0;1\right)$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Hằng ngày, mặt Trời chiếu sáng, bóng của một toà chung cư cao $40m$ in trên mặt đất, độ dài bóng của toà nhà này được tính bằng công thức$S\left(t\right)=40\left|\cot \frac{\pi }{12}t\right|,$ở đó $S$ được tính bằng mét, còn $t$ là số giờ tính từ 6 giờ sáng. Độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 8 giờ sáng là  __________ mét và có  ______  thời điểm bóng của toà nhà dài bằng chiều cao của toà nhà.

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{3x+1}{x}$. Gọi $G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$. Biết $G\left(2\right)=1$ và $G\left(5\right)+G\left(-5\right)=0$. Khi đó tìm được $G\left(-10\right)=a\ln 10+b\ln 5+c\ln 2+d$, với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Khi đó $a+b+c+d$ bằng ____.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Số lượng loại vi khuẩn $A$ trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s\left(t\right)=s\left(0\right)\cdot 2^t,$ trong đó $s\left(0\right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ lúc ban đầu, $s\left(t\right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con. Sau __ phút kể từ lúc ban đầu, số lượng loại vi khuẩn $A$ là 20 triệu con.

Cho mẫu số liệu điểm môn Toán của một nhóm học sinh như sau:

Trung vị của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là:

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một tấm bạt hình vuông cạnh $20m$ như hình vẽ dưới đây. Người ta dự tính cắt phần tô đậm của tấm bạt rồi gập và may lại (các đường may không đáng kể), nhằm mục đích phủ lên tháp đèn trang trí (tháp dạng hình chóp tứ giác đều) để tránh hư hại tháp khi trời mưa.

Biết khối chóp hình thành sau khi gập và may lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kín tháp đèn. Khi đó phần diện tích tấm bạt bị cắt là ___$m^2$để đảm bảo yêu cầu trên.

Lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số của tập hợp $A=\left\{1;2;3;4\right\}$. Số kết quả là

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho tam giác $$ABC$$ có ba góc đều là góc nhọn. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$ thỏa mãn: $\overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$. Điểm $I$ đi động trên $BC$ sao cho $\overrightarrow{BI}=\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}$ (Trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,n\in \mathbb{Z},n\ne 0$). Khi độ dài véc tơ $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{GC}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $m+n$ bằng __.

Cho hàm số $y=\cos x+\sin x$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quay được một góc có số đo bằng:

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Người ta quy định mật khẩu của chương trình máy tính gồm 3 kí tự.

Nếu mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được số mật khẩu khác nhau là _____ .

Theo quy định mới, nếu mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Theo quy định mới, số mật khẩu tạo được nhiều hơn theo quy định cũ là _____ .

Chữ số tận cùng của $15^{20}$ là

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.

Cho hàm số $y=\frac{5x-1-\sqrt{x^2-2}}{x-4}$. Đồ thị hàm số có  __ tiệm cận đứng và  __ tiệm cận ngang.

Một quả bóng được ném theo phương ngang xác định bởi phương trình $s=\frac{2}{3}{t}^3-\frac{5}{2}{t}^2-3t+2$, trong đó $t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét. Tính gia tốc của quả bóng tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.

Kéo và thả các phương án thích hợp vào các chỗ trống.

Công thức $h=-19,4\cdot \log \frac{P}{P_0}$ là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao $h$ so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (tính bằng kilômét) theo áp suất không khí $P$ tại điểm đó và áp suất $P_0$ của không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng $Pa-$ đơn vị áp suất, đọc là Pascal).

Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng $\frac{1}{2}{P}_0$ thì máy bay đang ở độ cao  _____ km. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng $\frac{4}{5}$ lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B. 

Ngọn núi cao hơn là __ , ngọn núi thấp hơn là __ . Độ cao chênh lệch giữa hai ngọn núi là  _____ km. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).