Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 25

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là

Trong một nhóm học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi 4 học sinh lên bảng làm bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh lên bảng có cả nam và nữ.

Kết quả điều tra về số giờ làm thêm trong một tuần của sinh viên một trường đại học X được cho bởi bảng sau:

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có $8$ bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả $8$ bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng bằng $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ bằng ____.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc $v\left(km/h\right)$ phụ thuộc thời gian $t\left(\mathrm{h}\right)$ có đồ thị của vận tốc như hình bên.

Trong khoảng thời gian 2 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $I\left(2;7\right)$ và trục đối xứng của parabol song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là đoạn thẳng như hình. Quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 4 giờ bằng $\frac{a}{b}$ km ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $ab$ bằng ____.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=5$, $BC=5$, $CA=7$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BC$ $\frac{7\sqrt{a}}{b},a,b\in \mathbb{N}$. Khi đó $a+b$ bằng ___.

Bảng biến thiên sau đây của hàm số nào?

Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $\left(C\right)$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Kéo và thả các phương án thích hợp vào các chỗ trống

Cho hàm số $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ có đồ thị $\left(C\right)$. Gọi $A$ là điểm cực trị có tung độ âm của đồ thị$\left(C\right)$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận xiên  __________ của đồ thị hàm số $\left(C\right)$ bằng __________ .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho tập $X=\left\{1;2;3;\dots ;12\right\}$. Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt từ tập $X$ rồi đặt 1 số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, đặt 3 số còn lại vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (ba vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí). Gọi $P$ là xác suất để tổng các số tự nhiên trên hai vòng tròn nhỏ bất kì luôn nhỏ hơn số ở vòng tròn lớn chính giữa đồng thời tổng cả ba số trên ba vòng tròn nhỏ luôn lớn hơn số ở vòng tròn lớn.

Giá trị của 1980P bằng ___.

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x}+2^x-3\sin x$ là

Cho một đa giác đều $\left(H\right)$ có 9 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Gọi $X$ là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác trên. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Đồ thị hình bên dưới là của hàm số nào?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $A{A}^{\prime }$. Cho biết $AB=2$, $BC=\sqrt{13}$,$C{C}^{\prime }=4$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết $$a=27m$$ và $$b=8m$$. Biết chiều dài tối thiểu của cái sào là $a\sqrt{a},\left(a\in \mathbb{N}\right)$. Giá trị của $a$ bằng ___.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hai hàm số $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+1$ và $g\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Diện tích phần tô màu trong hình bằng __.

Trong không gian với hệ tọa độ $$Oxyz$$, phương trình mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $I\left(2;-1;0\right)$ và có đường kính bằng 8 là

Điền các số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2+4x}>\frac{1}{32}$ là $S=\left(a;b\right)$. Khi đó $a$bằng ___ và $b$ bằng __.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AC$. Tìm mệnh đề sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống

Trong cuộc thi tìm kiếm năng khiếu âm nhạc do đoàn trường THPT tổ chức, ban tổ chức tổ chức ba vòng thi: vòng sơ khảo, vòng bán kết và vòng chung kết. Biết rằng, ban tổ chức sẽ chọn ra $$50\%$$ đội thi đã đăng kí để vào vòng sơ khảo. Khi kết thúc vòng sơ khảo, ban tổ chức sẽ chọn ra $$30\%$$ đội thi của vòng sơ khảo để vào vòng bán kết. Khi kết thúc vòng bán kết, ban tổ chức sẽ chọn ra $$20\%$$ đội thi của vòng bán kết để vào vòng chung kết. Chọn ngẫu nhiên một đội thi đã đăng kí tham dự cuộc thi này.

Xác suất để đội thi được chọn lọt vào vòng sơ khảo là ________ .

Xác suất để đội thi được chọn lọt vào vòng bán kết là _________ .

Xác suất để đội thi được chọn lọt vào vòng chung kết là _________ .

Biết rằng đội thi được chọn không lọt vào vòng chung kết. Khi đó, xác suất đội thi ấy lọt vào vòng sơ khảo là __________ .

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(1;-1;2\right);B\left(2;0;1\right)$ và $C\left(0;-1;3\right)$. Giá trị của $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left(1;0;1\right);B\left(3;0;0\right);C\left(1;1;0\right)$ và $D\left(5;1;1\right)$.

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số $P\left(t\right)=\frac{a}{b+e^{-0,75t}}$ ($$a,b\in \mathbb{R}$$), trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Đạo hàm của hàm số $y=P\left(t\right)$ biểu thị tốc độ sinh trưởng của nấm men (tính bằng tế bào /giờ) tại thời điểm t (giờ). Tại thời điểm ban đầu $t=0$, quần thể có 20 tế bào và tốc độ sinh trưởng là 10 tế bào/giờ. Số lượng tế bào của quần thể nấm men tại thời điểm tốc độ sinh trưởng của quần thể đạt mức tối đa là ___ tế bào.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một mặt bàn bằng kính có hình dạng như hình a. Để tạo ra mặt bàn đó người ta dùng một tấm kính hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $14\left(\mathrm{dm}\right)$ và tại mỗi góc trong tam giác cắt tấm kính theo các đường parabol như nhau. Xét tại đỉnh $A$, parabol có đỉnh $M$ thuộc đường trung tuyến $AH$, tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $N,P$ sao cho $AM=\sqrt{3}\mathrm{dm},AN=AP=4\mathrm{dm}$(Hình b).

Diện tích mặt bàn thu được là một số có dạng $a\sqrt{b}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ không có ước chính phương khác $1$). Giá trị $a+b$ bằng ___.

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left(1;-1;3\right)$ và song song với đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+3}{-1}$ có phương trình là

Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left(u_n\right)$ là $S_n=2+4+6+\dots +2n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Viết liền nhau các số tự nhiên từ 1 đến 100. Khi đó chữ số 5 được viết bao nhiêu lần?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm $t$ được cho bởi công thức: $B\left(t\right)=80+7\sin \frac{t\pi }{12}$ (mmHg), trong đó $t$ là số giờ tính từ lúc nửa đêm (0 giờ 00 phút) và $B\left(t\right)$ tính bằng mmHg (milimét thủy ngân).

Huyết áp tâm trương của người này vào 10 giờ 30 phút sáng xấp xỉ  ______ (mmHg).

Huyết áp tâm trương của người này vào 12 giờ trưa là  ___ (mmHg).

Huyết áp của người đó đạt cao nhất tại thời điểm sớm nhất trong ngày là lúc  __ (giờ).

Một vận động viên đang luyện tập chạy đường dài, dự định buổi tập hôm nay sẽ chạy trong 50 phút. Trong vòng 15 phút đầu tiên người vận động viên chạy với vận tốc $10km/h$, do có sự suy giảm thể lực nên mỗi 10 phút tiếp theo vận tốc của người vận động viên giảm so với trước đó $1km/h$. Hỏi đến khi hoàn thành buổi tập thì người vận động viên đã chạy được quãng đường là bao nhiêu?

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x-m}{x+4}$. Tổng tất cả các giá trị của $m$ để $\underset{\left[-3;3\right]}{\min }f\left(x\right)=2$ là ____.

Cho ${\log }_2^2\left(xy\right)={\log }_2\left(\frac{x}{4}\right){\log }_2\left(4y\right)$. Biểu thức $P={\log }_3\left(x+4y+4\right)+{\log }_2\left(x-4y-1\right)$ có giá trị bằng

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống

Cho hàm số $y=3\sin x+4\cos x+1$. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng  __ và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng ___ .

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Tại buổi tất niên công ty, Dương và Nguyên cùng tham gia trò chơi và giành chiến thắng. Phần quà của hai bạn được đặt trong 1 hộp kín, gồm 6 tờ 20000 và 4 tờ 50000. Dương lấy trước, Nguyên lấy sau. Xác suất để Nguyên lấy được tờ 50000 là $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tổng $a+b$ bằng __.

Cho hai mặt phẳng $\left(P\right),\left(Q\right)$ vuông góc với nhau. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(1) Góc giữa hai mặt phẳng là $90^{\circ }$.

(2) Mọi đường thẳng trong $\left(P\right)$ đều vuông góc với $\left(Q\right)$.

(3) Tồn tại đường thẳng trong $\left(Q\right)$ vuông góc với $\left(P\right)$.

(4) Nếu $\left(R\right)$ vuông góc với $\left(Q\right)$ thì $\left(R\right)$ song song với $\left(P\right)$.

(5) Nếu mặt phẳng $\left(R\right)$ vuông góc với$\left(P\right)$, $\left(R\right)$ vuông góc với $\left(Q\right)$ thì $\left(R\right)$ vuông góc với giao tuyến của $\left(P\right)$ và$\left(Q\right)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right)$ có phương trình ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=2$. Gọi $\left(P\right),\left(Q\right)$ là hai mặt phẳng tiếp xúc với $\left(S\right)$ đồng thời vuông góc với nhau theo giao tuyến $d$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu $\left(S\right)$ trên đường thẳng $d$. Diện tích tam giác $OIK$ lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? Biết $O$ là gốc tọa độ.

Điền các số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(1;3;4\right),B\left(-1;1;2\right),C\left(3;2;12\right)$. Cho $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ thoả mãn $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3$. Tung độ của điểm $M$ là __, cao độ của điểm $M$ là __.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống

Cho $x,y,z,a,b,c$ là ba số thực thay đổi thỏa mãn $x^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$ và $a+b+c=4$. Giá trị nhỏ nhất của $P={\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2$ bằng $\frac{k+p\sqrt{3}}{q}$ (phân số tối giản với $q>0$).

Giá trị của $k$ bằng __ .

Giá trị của $k+p+q$ bằng __ .