Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 23

Kéo và thả biểu thức thích hợp vào các chỗ trống

Hàm số $y=\sin x+5$ tuần hoàn với chu kì _________ .

Hàm số $y=\cot x$ không xác định với mọi $x$ có dạng  __________ ($k\in \mathbb{Z}$).

Tập hợp các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=x^2+\left(2m+1\right)x-m+3$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ là:

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$, biết các cạnh bên tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Giá trị lượng giác tang của góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SCD\right)$ bằng

Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_n=(-1{)}^n\cdot 5^{2n+3}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống

Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào ghế dài có 6 chỗ.

Có  ___ cách xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế.

Có  ____ cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.

Có  ____ cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Tìm $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ để: $n^{2003}+n^{2002}+1$ là số nguyên tố.

Giá trị của $n$ là __.

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Bạn A có 12 bi đỏ, 5 bi xanh và 10 bi vàng. Sau đó bạn A lại cho thêm một số bi đỏ vào. Bạn A lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Xác suất để lấy được bi đỏ là $\frac{1}{2}$. Số viên bi đỏ bạn A đã cho thêm là __.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=30^{\circ }$, tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left(SAB\right)$ bằng?

Gọi $X$ là một phần vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=a$ và $x=b$, biết rằng $S\left(x\right)$ là thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x,\left(a\le x\le b\right)$. Giả sử $S\left(x\right)$ là hàm số liên tục trên $\left[a;b\right]$. Thể tích vật thể $X$ được tính bằng công thức

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x=2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)$ trong đó thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimét. Trong khoảng thời gian từ $0$ đến 10 giây, vật đi qua vị trí cân bằng ___ lần?

Gọi $A$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho phương trình $x\cdot 2^x=x\left(x-m+1\right)+m\left(2^x-1\right)$ có hai nghiệm phân biệt. Số tập hợp con của tập hợp $A$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

y=f(x) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai? Đúng Sai Hàm số có hai điểm cực trị. ⭘ ⭘ Hàm số nghịch biến trên $(2;3)$. ⭘ ⭘ Giá trị n (ảnh 1)">

Tính các giới hạn sau $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{|2-x|}{2x^2-5x+2}$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=a,SA\perp \left(ABC\right),SA=a\sqrt{3}$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm $M$ và $N$ lần lượt thuộc AD và BC sao cho $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{NB}=-3\overrightarrow{NC}$. Biết $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{CD}=\vec{b}$. Biết $\overrightarrow{MN}=x\vec{a}-y\vec{b}$.

Khi đó $x+y=$ __.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho $n$ là số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 7, 5, 3, 11 có cùng số dư là $1$.

Khi đó $n=$ _____.

$\int 2^x\cdot 5^{x}dx$ bằng

Biểu đồ trong hình vẽ thể hiện điểm kiểm tra học kỳ 2 môn Toán của 501 học sinh khối 12 của một trường THPT. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ này bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là 1 mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng $\left(Oxy\right)$, trục Oz hướng lên trên vuông góc với mặt biển, đỉnh của một ngọn hải đăng ở vị trí $I\left(21;35;50\right)$ cao 50 mét so với mực nước biển và ngọn hải đăng này được thiết kế với vùng phủ sáng có bán kính là $4$ km. Một người đi biển ở vị trí $A\left(5121;658;0\right)$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Bác Hai có một mảnh đất rộng $6$ héc-ta. Bác dự tính trồng cà chua và bắp cho mùa vụ sắp tới. Nếu trồng bắp thì bác Hai cần 10 ngày để trồng một héc ta. Nếu trồng cà chua thì bác Hai cần 20 ngày để trồng một héc ta. Biết rằng mỗi hec ta bắp sau thu hoạch bán được 30 triệu đồng, mỗi héc ta cà chua sau thu hoạch bán được 50 triệu đồng và bác Hai chỉ còn 100 ngày để canh tác cho kịp mùa vụ. Để thu được nhiều tiền nhất thì bác Hai cần trồng __ héc ta cà chua và __ héc ta bắp.

Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là 0,8; hoàn thành câu trung bình là 0,6 và hoàn thành câu khó là 0,15. Làm đúng mỗi một câu dễ An được 0,1 điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được 0,25 điểm và làm đúng mỗi câu khó An được 0,5 điểm. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Ông A dự định xây “tường cong” trong sân trượt patin là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5 m. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=4$ m. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại $A$ là một hình tam giác vuông cong ACE với $AC=4$ m, $CE=3,5$ m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $M$ là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao $1$ m (xem hình minh họa bên). Thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó là ___ m³.

Trong không gian với hệ tọa độ $$\mathrm{O}xyz$$, cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left(3;0;1\right)$. Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{u}$ bằng:

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một hộ gia đình chuyên làm thịt trâu sấy khô để bán, mỗi ngày hộ đó sản suất được $x$ kg thịt, $\left(1\le x\le 20\right)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ kg thịt trâu khô, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: $C\left(x\right)=x^3-9x^2+345x+450$. Giả sử hộ gia đình này bán hết số thịt làm ra mỗi ngày với giá $750$ nghìn đồng/kg. Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ kg thịt trâu sấy khô. Lợi nhuận tối đa mà hộ gia đình này thu được trong một ngày là _____ nghìn đồng khi sản xuất ___ kg thịt trâu khô trong một ngày.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Hình 1 là một tác phẩm dự thi của nhà thiết kế sân khấu trong một cuộc thi thiết kế sân khấu ngoài trời tổ chức tại một quảng trường. Khi mở rộng sân khấu trung tâm, ta được Hình 2. Quá trình thiết kế sân khấu trung tâm được mô tả như sau:

Bước 1. Vẽ hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng 2 và lấy trung điểm của bốn cạnh lần lượt là $E,F,G,H$.

Bước 2. Vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm $B,C,H$ và hàm bậc hai đi qua ba điểm $F,D,A$.

Bước 3. Tương tự như Bước 2, vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm $A,B,G$ và ba điểm $C,D,E$

Biết rằng: Diện tích phần tô màu trong Hình 2 được cho bởi công thức: $\frac{p\sqrt{2}+q}{3},p,q\in \mathbb{Z}$.

Giá trị của $p-3q$ bằng ___.

Nếu $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=3$ thì $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[2x-f\left(x\right)\right]\mathrm{d}x$ bằng:

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình sau đây

f(x)=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình sau đây Mỗi phát biểu sau đúng hay sai? Đúng Sai Giá trị cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$ bằng \( - 1\ (ảnh 1)">

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left(1;-4;7\right),B\left(5;1;6\right),C\left(5;5;5\right)$. Với $M$ là điểm trong không gian $Oxyz$, ta có giá trị nhỏ nhất của $P=-2{\overrightarrow{MA}}^2-3{\overrightarrow{MB}}^2+6{\overrightarrow{MC}}^2$ là ______.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z-3=0$ đi qua điểm nào dưới đây:

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống

Một cửa hàng kinh doanh 2 mặt hàng là $$A$$ và $$B$$. Xác suất có lãi của mặt hàng $$A$$ là $$0,6$$ và xác suất có lãi của mặt hàng $$B$$ là $$0,7$$. Xác suất chỉ có mặt hàng $$A$$ có lãi $$0,2$$. Gọi $$A$$ là biến cố: “Mặt hàng $$A$$ có lãi”, $$B$$ là biến cố: “Mặt hàng $$B$$ có lãi”.

$$P\left(A\overline{B}\right)$$ bằng ____ .

Xác suất để cả 2 mặt hàng đều có lãi là ____ .

Xác suất để có đúng một mặt hàng có lãi là ____ .

Xác suất để mặt hàng $$B$$ có lãi biết mặt hàng $$A$$ không có lãi là _____ .

Cho hàm số $f(x)=2\sin x-x$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(0;-1;0\right)$ và điểm $N\left(5;0;-2\right)$. Mặt phẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với $MN$ có phương trình là

Trong công nghệ ô tô điện (EV), Hệ thống Quản lý Pin (BMS) của xe sẽ tự động điều chỉnh dòng điện để bảo vệ tuổi thọ pin. Một trạm sạc DC siêu nhanh có công suất truyền vào pin P(t) (kW) theo thời gian t (giờ) kể từ lúc bắt đầu cắm sạc được tính bằng hàm số $P\left(t\right)=250\cdot e^{-kt}$, với k là một hằng số dương đặc trưng cho giới hạn tản nhiệt của dòng xe đó. Biết rằng, ngay tại thời điểm vừa cắm sạc, tốc độ sụt giảm công suất sạc là 625 kW/giờ. Thực tế, BMS của xe sẽ tự động ngắt sạc (báo pin đầy) khi công suất sạc giảm xuống chỉ còn bằng 1% so với công suất ban đầu. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $f\left(x\right)=2^{x^2}$ và hàm số $g\left(x\right)=\sqrt{{\log }_{2}x}$. Giả sử $S=\underset{1}{\overset{20}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{2^{400}}{\int }}g\left(x\right)dx$ được viết dưới dạng $S=a\cdot 2^b-c$, với $b$ là số nguyên và $a,c$ là các số nguyên tố. Giá trị $a+b+c$ bằng ____.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Trung bình cộng và phương sai của bảy số liệu lần lượt là 8 và 16. Nếu bảy số liệu là$2;4;10;12;14;a;b$ thì $$a^2+b^2$$ bằng  ____ và $ab$ bằng ___ .