Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 21

Cho đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ

y=f′(x) như hình vẽ Hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $\left[1;3\right]$ tại x0. Khi đó giá trị của $x_0^2-2x_0+2019$ bằng bao nhiêu? (ảnh 1)">

Hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $\left[1;3\right]$ tại x₀. Khi đó giá trị của $x_0^2-2x_0+2019$ bằng bao nhiêu?

Cho $\left(-x^2+2\right)e^{-x}$ là đạo hàm của hàm số $y=\left(a{x}^2+bx\right)e^{-cx}$. Tính $a+b+c$.

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với $u_1=3,q=\frac{1}{2}$.

Giá trị của $u_5$ là $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $a+b$ bằng ___.

$\frac{3}{512}$ là số hạng thứ ___.

Kéo và thả phương án thích hợp vào các chỗ trống:

Một lớp học 40 học sinh gồm có 15 học sinh nam giỏi Toán và 8 học sinh nữ giỏi Lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Gọi A là biến cố chọn một nam sinh giỏi toán và B là biến cố chọn một nữ sinh giỏi lý. Khi đó A và B là hai biến cố  __________ và xác suất để chọn được một nam sinh giỏi Toán hay một nữ sinh giỏi Lý là __________ .

Cho giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{a{x}^2+x+1}-\sqrt{x^2+bx-2}\right)=1$. Tính $P=a\cdot b$.

Cho hàm số $$y=f\left(x\right)$$ có đồ thị như hình vẽ sau:

$y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ sau: Mỗi phát biểu sau đúng hay sai? Phương trình $$\left|f\left(x\right)\right|=1$$ có 2 nghiệm phân biệt. Đồ thị hàm số \ (ảnh 1)">

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=2a,BC=a$, tam giác đều $SAB$ nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có diện tích đáy $S=10\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc $30^{\circ }$ và độ dài cạnh bên bằng $10\mathrm{cm}$. Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng ___ $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$.

Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(0\right)=\frac{1}{3}$ và $\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+2}\right)f^{\prime }\left(x\right)=1,\forall x\ge -2$.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $AB=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB,N$ là điểm trên cạnh $SD$ sao cho $SN=2ND$. Tính thể tích khối tứ diện $ACMN$.

Cho biểu thức $P=\sqrt[6]{x\cdot \sqrt[4]{x^2\cdot \sqrt{x^3}}}(x>0)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Anh X dự định thiết kế lại mảnh vườn hình chữ nhật của gia đình với một đầu mảnh vườn được thiết kế hòn non bộ và một đầu được trồng hoa. Biết mỗi đầu mảnh vườn là một phẩn của cung tròn có tâm nằm trên chiều rộng được minh họa như hình vẽ.

Chi phí hoàn thiện hòn non bộ là 9 triệu đồng$/m^2$ và chi phí trồng hoa là 800 nghìn đồng$/m^2$. Tổng chi phí anh $\mathrm{X}$ cần dùng để chỉnh sửa mảnh vườn là bao nhiêu triệu đồng? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Chữ số tận cùng của hiệu $7^{95}-3^{58}$ là

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$ và ba điểm $A\left(-1;2;-3\right),B\left(5;2;3\right),C\left(1;2;3\right)$. Gọi $S$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $\left(S\right)$. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp$S.ABC$ là ___.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x+4y-2z-6=0$ và $\left(Q\right):x-2y+4z-6=0$. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa giao tuyến của $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ đồng thời cắt các trục tọa độ tại các điểm $A,B,C$ sao cho hình chóp $O.ABC$ đều. Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-2\left(x+1\right)\mathrm{khi}x\le 0\\ m\left(1-x^2\right)\mathrm{khi}x>0\end{array}$. Để $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=7$ thì giá trị của $m$ bằng bao nhiêu?

Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng một tháng (chuyển vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2023 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% / tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2023 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1). (Các kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho tứ giác $ABCD$. Trên các cạnh $AB,BC,CD,AD$ lần lượt lấy $3;4;5;6$ điểm phân biệt khác các điểm $A,B,C,D$. Số tam giác phân biệt có các đỉnh là các điểm vừa lấy là

Cho hàm số $y=-x^3-m{x}^2+\left(4m+9\right)x+5$ với $m$ là tham số.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho hàm số $f\left(x\right)=x+x^2+x^3+\dots +x^{2024}$. Tính $L=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}$.

Một bạn học sinh gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp 50 lần. Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc được thống kê trong bảng dưới đây:

Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 7 bằng

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc $v\left(t\right)=2t\left(t\ge 0\right)\left(m/s\right)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây. Ô tô bắt đầu xuất phát tại thời điểm $t=0$. Quãng đường ô tô đi được trong 20 giây là  ____ (m).

Khi ô tô chạy được 1 phút thì tài xế đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc $v\left(t\right)=-5t+420\left(\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)$. Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển  _____ (m). Tổng quãng đường ô tô đi được (kể từ khi xuất phát đến khi dừng hẳn) là  _____ (m).

Gọi $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2^x$, thỏa mãn $F\left(0\right)=\frac{1}{\ln 2}$.

Tính giá trị biểu thức $$T=F\left(0\right)+F\left(1\right)+\cdots +F\left(2018\right)+F\left(2019\right).$$

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Trong mô hình dự đoán mức ồn cao nhất của đường sắt cao tốc $L\left(dB\right)$, khoảng cách từ một điểm đến điểm gần nhất của đường ray là $d\left(m\right)$, vận tốc tàu đi qua điểm gần nhất trên đường ray là $v\left(\mathrm{km}/\mathrm{h}\right)$. Khi đó mối quan hệ sau đây được thiết lập$L=80+28\log \left(\frac{v}{100}\right)-14\log \left(\frac{d}{25}\right)$. Chúng ta muốn dự đoán mức ồn tối đa của hai đoàn tàu $A$ và $B$ với tốc độ khác nhau. Tại điểm mà khoảng cách đến điểm $P$ gần nhất của đường ray là $d_{\min }$. Khi tốc độ tàu $A$ đi qua điểm $P$ bằng 0,9 lần tốc độ tàu $B$ đi qua điểm $P$ thì mức ồn tối đa dự đoán của hai đoàn tàu $A$ và $B$ lần lượt là $L_A,L_B$. Giá trị của biểu thức $T=L_A-L_B=a+b\log 3$, với $a,b$ ở đây là các số nguyên, Giá trị $a-b$ là ____.

Khi thống kê chiều cao (đơn vị: centimét) của học sinh lớp $12A$, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm như bảng.

12A, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm như bảng. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng: 25 cm. 20 cm. 5 cm. (ảnh 1)">

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho $x>0,y>1$ thỏa mãn $\frac{1}{2}{y}^2\cdot \mathrm{lo}{\mathrm{g}}_2\left(\frac{xy-x}{2y}\right)=-2{\left(y-1\right)}^2+\frac{8y^2}{x^2}$. Giá trị nhỏ nhất của $P=\sqrt[4]{e^{\frac{x^2}{1+2y}}}\cdot e^{\frac{y^2}{x+1}}$ có dạng $e^{\frac{m}{n}}$ (trong đó $m$, $n$ là các số nguyên dương, $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị $m^{n-1}$ bằng _____.

Bảng dưới đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 12 khách hàng mua sách ở một cửa hàng trong một ngày.

Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Một lớp học có 50 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam và 30 học sinh nữ. Khi tổng kết cuối năm, lớp có 20 học sinh giỏi, trong đó có 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp.

Xác suất học sinh được chọn là học sinh nữ bằng ____ .

Xác suất học sinh được chọn vừa là học sinh giỏi và là học sinh nữ bằng _____ .

Biết rằng học sinh được chọn là nữ, xác suất học sinh đó là học sinh giỏi bằng ____ .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho phương trình đường thẳng $d:\frac{x-5}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{\sqrt{2}}$ và phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ : $x-y+\sqrt{2}z-7=0$. Góc của đường thẳng $d$ là mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ bằng ___ độ.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm của của số như sau: $f^{\prime }\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x+3\right)(x-1{)}^2$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Bạn Hùng chạy (ngược chiều thang lên) trên một thang cuốn đang hoạt động để xuống chỗ mua vé tàu điện ngầm, mất 15 giây để tới nơi. Ngày hôm sau, thang cuốn bị hỏng nên đứng yên, Hùng chạy mất 20 giây. Giả sử cả bạn Hùng và thang máy cùng chuyển động đều với vận tốc không đổi. Nếu Hùng đứng yên trên thang cuốn đang hoạt động, Hùng sẽ mất ___ giây để xuống chỗ mua vé?

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ ở vĩ độ $45^{\circ }$ bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $d\left(t\right)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)+12$, với $t\in \mathbb{Z},0<t\le 365$

(tham khảo bảng sau cho biết số ngày của mỗi tháng trong năm không nhuận)

Mỗi phát biểu dưới đây đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một cửa hàng bán mứt dưa với giá nhập vào là $30\mathrm{ngh}\grave{\mathrm{ı}}\mathrm{n}$ đồng $/1\mathrm{kg}$ và bán ra là 39 nghìn đồng $/1\mathrm{kg}$, mỗi ngày cửa hàng bán được 60 kg. Chủ cửa hàng nhận thấy rằng hôm nào nếu bán với giá giảm 1000 đồng/ 1 kg thì ngày hôm đó khối lượng bán lại tăng thêm 20 kg so với hôm trước. Để cửa hàng thu được mức lợi nhuận cao nhất thì chủ cửa hàng phải bán 1 kg mức với giá ___ nghìn đồng.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho$\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}(2\tan x+\cot x{)}^{2}dx=a+\frac{\sqrt{3}}{b}-\frac{\pi }{c}\left(\ast \right)$. Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn $\left(\ast \right)$. Khi đó $a+b+c$ bằng ___.

Cho đồ thị hàm số $y=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_3\left(5x-3\right)$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Từ các số của tập $A=\left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}$ lập được:

____  số có năm chữ số đôi một khác nhau, đồng thời hai chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau;  ______ số có bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần.