Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 16

Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(0\right)=\frac{1}{2}$, hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ.

y=f(x) thỏa mãn $f\left(0\right)=\frac{1}{2}$, hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai? (ảnh 1)">

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Một hộp chứa 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ hộp. Xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ, là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Mỗi ngày, bạn Thương đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bạn Thương được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường trung bình mà bạn Thương đi được là

Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$. Xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia là

Cho phương trình $${\log }_3\left(\sqrt{x^2-3x+2}+2\right)+5^{x^2-3x+1}=2$$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng $\left(P\right)$ song song với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ cắt đoạn SA tại $M$ sao cho $SM=2MA$. Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi $\left(P\right)$ bằng

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Tổng các số nguyên $n$ để $$A=n^4+n^3+n^2$$ là một số chính phương bằng ___.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu ___ hàng ghế.

Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng $\frac{3}{2}$ chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là $$54\sqrt{3}\pi \mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$$. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ).

Thể tích nước còn lại trong thùng là

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{lll}{x}^2-3x+m& \mathrm{khi}& x<1\\ -2x+n& \mathrm{khi}& x\ge 1\end{array}\left(m,n\in \mathbb{R}\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=0$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 5, sao cho trong mỗi số đó chữ số 0 xuất hiện đúng 3 lần?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ $10h00$ sáng đến $22h00$ mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ $10h00$ đến $18h00$ và ca II từ $14h00$ đến $22h00$.

Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ như bảng sau:

Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng $10h00-18h00$, tối thiểu 24 nhân viên trong thời gian cao điểm $14h00-22h00$ và không quá 20 nhân viên trong khoảng $18h00-22h00$. Do lượng khách trong khoảng $14h00-22h00$ thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Chủ chuỗi nhà hàng cần huy động số lượng nhân viên cho hai ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Khi đó cần có  __ nhân viên ca I và  ___ nhân viên ca II.

Cho hình lăng trụ đứng $$ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$ có đáy $ABC$ là tam giác cân, $AB=AC=2a$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, $C{C}^{\prime }=2a$. Gọi $I$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$. Côsin góc giữa hai mặt phẳng $\left(A{B}^{\prime }I\right)$ và $\left(ABC\right)$ bằng

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc $v\left(t\right)=t^2+10t$ $\left(m/s\right)$ với $t$ là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc $200\left(m/s\right)$ thì rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

Một trường trung học phổ thông có 600 học sinh, trong đó có 245 học sinh nam và 355 học sinh nữ. Tổng kết học kỳ I, có 170 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, trong đó có 80 học sinh nam và 90 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên một học sinh trong số 600 học sinh đó. Xác suất để học sinh được chọn có danh hiệu học sinh giỏi, biết rằng học sinh đó là nam, là

Một cửa hàng nhập vào một loại máy tính xách tay với giá $15$ triệu đồng và bán ra với giá $18$ triệu đồng. Với giá bán này, một tháng cửa hàng đó bán được $20$ cái máy tính xách tay. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi máy $500000$ đồng thì số máy tính bán được trong một tháng tăng thêm $5$ cái. Giá bán mỗi cái máy tính để lợi nhuận thu được là cao nhất, là

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Số giá trị nguyên của tham số $$m$$ để sin của góc tạo bởi hai đường thẳng $${\Delta }_1:2x+3my-1=0$$ và $${\Delta }_2:3x-4y+7=0$$ bằng $$\frac{4}{5}$$, là __.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left(2;-1;-2\right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$, song song với đường thẳng $d$ và khoảng cách từ đường thẳng $d$ tới mặt phẳng $\left(P\right)$ là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng $\left(P\right)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại).

Xét các biến cố:

$A$: “Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I”;

$B$: “Lần thứ hai lấy ra chai nước loại I”.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a=1$. Hai điểm $M,N$ theo thứ tự thay đổi trên các đoạn $AB$ và $CD$ sao cho $BM=DN$.

Giá trị lớn nhất của $MN$ là __ , nhỏ nhất của $MN$ là __________ .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào các chỗ trống.

Người thợ hồ nâng một xô nước bị rỉ lên cao $10m$ với tốc độ cố định. Cho trọng lượng của xô là $2,5N$ và trọng lượng ban đầu của nước là $2N$. Biết rằng xô nước bị rỉ nên lượng nước trong xô sẽ chảy ra với tốc độ không đổi trong thời gian nâng xô nước lên. Người ta ước tính rằng lượng nước trong xô sẽ thay đổi theo đồ thị như hình dưới đây.

Người thợ hồ đã dùng một công là ___ (Nm) để nâng xô nước lên cao $10m$, với giả sử rằng bỏ qua trọng lượng sợi dây.

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA=x$ và $SA\perp \left(ABCD\right)$. Giá trị của $x$ theo $a$ để số đo góc nhị diện $\left[B,SC,D\right]$ bằng $120^{\circ }$ là

Số tự nhiên $d\ne 0$ được gọi là một ước số của số tự nhiên $a$ khi và chỉ khi $a$ chia hết cho $d$. Ta nói $d$ chia hết $a$, kí hiệu $d\mid a$. Số $d^{\prime }\in \mathbb{N}$ được gọi là ước số chung lớn nhất của $a$ và $b\left(a,b\in \mathbb{Z}\right)$ khi $d^{\prime }$ là phần tử lớn nhất trong tập $USC\left(a;b\right)$. Ký hiệu UCLN của $a$ và $b$ là $\left(a;b\right)$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

$S$ là tập hợp các số nguyên $m>-5$ sao cho phương trình ${\left(\sqrt{5}+1\right)}^x+m{\left(\sqrt{5}-1\right)}^x=2^x$ có đúng 1 nghiệm. Tổng các giá trị của $S$ là ____.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z+2=0$ và hai điểm $A\left(-1;0;0\right),$ $B\left(1;0;1\right)$. Gọi $M$ là điểm di động trên mặt phẳng $\left(P\right)$ sao cho các đường thẳng $MA,MB$ cùng tạo với mặt phẳng $\left(P\right)$ các góc bằng nhau. Biết độ dài lớn nhất của $O{M}^2$ có dạng $\frac{a+24\sqrt{b}}{c},$ $\left(a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$. Tính tổng $a+b+c$ ta được kết quả là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$. Hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

y=f′(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục $Ox$ và đồ thị hàm số \(y = f'\left (ảnh 1)">

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục \(Ox\) và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ trên đoạn $\left[-2;1\right]$ và $\left[1;4\right]$ lần lượt bằng 9 và 12. Cho $f\left(1\right)=3$. Giá trị của biểu thức $f\left(-2\right)+f\left(4\right)$ bằng

Hội đua ghe truyền thống tỉnh Thừa Thiên Huế là một ngày lễ hội mới được tổ chức sau ngày giải phóng hoàn toàn miền Nam 1975. Hội được tổ chức trong một ngày, địa điểm đua là bờ sông Hương trước trường Quốc Học. Trong cuộc đua ghe, ghe $A$ và ghe $B$ ở vị trí như hình vẽ. Điểm $K$ là vị trí khán giả đứng xem và quan sát thấy ghe $A$ và ghe $B$ theo các góc tạo với bờ $IK$ lần lượt là $50^{\circ }$ và $65^{\circ }$. Điểm $I$ là đích đến của cuộc đua, cách điểm $K$ một khoảng bằng $380$ m. Lúc ghe $A$, ghe $B$ và đích $I$ thẳng hàng, từ điểm $I$ quan sát thấy ghe $A$ và ghe $B$ tạo với bờ một góc bằng $60^{\circ }$ (xem hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai ghe thuyền (đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm Trái Đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ Trái Đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm $2^{\circ }\mathrm{C}$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm $3\%$, còn khi nhiệt độ Trái Đất tăng thêm $5^{\circ }\mathrm{C}$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm $10\%$. Biết rằng nếu nhiệt độ Trái Đất tăng thêm $t^{\circ }C$, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm $f\left(t\right)\%$ thì $f\left(t\right)=k\cdot a^t$ (trong đó $a,k$ là các hằng số dương). Nhiệt độ Trái Đất tăng thêm bao nhiêu độ C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm $20\%$?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Hai số $2^{2023}$ và $5^{2023}$ viết liền nhau tạo thành một số có _____ chữ số.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho khối nón $\left(S\right)$ có bán kính đáy bằng 3. Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác vuông cân.

Diện tích xung quanh của hình nón $\left(S\right)$ bằng __________ .

Thể tích của khối nón $\left(S\right)$ bằng __________ .

Điền các số nguyên dương thích hợp vào các chỗ trống.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (mỗi đơn vị đo ứng với 100 kilômét thực tế), một radar được đặt ở vị trí gốc tọa độ. Biết rằng radar có phạm vi hoạt động là 100 km. Một máy bay chuyển động thẳng đều có vị trí được xác định theo thời gian t (đơn vị giờ) cho bởi phương trình $\{\begin{array}{c}x=1-4t\\ y=1-2t\\ z=-2+4t\end{array},0\le t\le 3$.

Quãng đường máy bay bay được trong 1 giờ là ____ km.

Quãng đường máy bay bay trong thời gian bị radar phát hiện là ____ km (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Từ một tấm bìa mỏng hình lục giác đều $ABCDEF$cạnh 4 cm, bên trong có một lục giác đều nhỏ hơn. Các đường chéo AD, BE, CF cắt nhau tại O, AD cắt cạnh lục giác đều nhỏ tại M (như hình vẽ). Đặt $OM=x$ (cm). Bạn Hưng cắt bỏ 6 tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của lục giác đều ban đầu và đỉnh là đỉnh của lục giác đều nhỏ phía trong rồi gấp lên sao cho các đỉnh A, B, C, D, E, F trùng nhau tạo thành một khối chóp lục giác đều.

ABCDEFcạnh 4 cm, bên trong có một lục giác đều nhỏ hơn. Các đường chéo AD, BE, CF cắt nhau tại O, AD cắt cạnh lục giác đều nhỏ tại M (như hình vẽ). Đ (ảnh 1)">

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Anh Minh có mở một cửa hàng sách và đang cần tuyển nhân viên trông coi cửa hàng. Để tuyển nhân viên đòi hỏi có khả năng tư duy và suy luận tốt, anh Minh đưa ra thử thách như sau: Bộ truyện tranh thám tử Kenichi gồm $44$ tập đang được sắp xếp từ 1 tới $44$ trên giá (giả sử đang tính từ trái qua phải và tất cả cuốn truyện được sắp xếp cùng chiều). Yêu cầu hãy thực hiện việc sắp xếp các tập truyện theo trình tự ngược lại từ $44$ tới $1$ theo quy tắc: Đổi chỗ $2$ tập truyện đang xếp liên tiếp sẽ bị tính $1$ điểm; đổi chỗ $2$ tập truyện mà ở giữa chúng có $3$ tập khác thì không bị tính điểm. Bạn Linh muốn ứng tuyển vào nhân viên cửa hàng. Khi đó điểm số nhỏ nhất của Linh là ___ điểm để thực hiện được thử thách trên.

Bốn ngư dân góp vốn mua chung một chiếc thuyền. Số tiền người đầu đóng góp bằng nửa tổng số tiền của ba người còn lại. Số tiền người thứ hai đóng góp bằng $\frac{1}{3}$ tổng số tiền của ba người còn lại. Số tiền người thứ ba đóng góp bằng $\frac{1}{4}$ tổng số tiền 3 người còn lại. Biết người thứ tư đóng góp 260 triệu đồng. Chiếc thuyền này được mua với giá là

Để nghiên cứu xác suất của một loại cây trồng mới phát triển bình thường, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai ô thí nghiệm $A,B$ khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của hạt giống đó trên các ô đất $A,B$ lần lượt là 0,61 và 0,7. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xác suất của biến cố hạt giống chỉ phát triển bình thường trên một ô đất là

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.

Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 3 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Có  ____ cách chọn 5 học sinh tùy ý; có  ___ cách chọn 5 học sinh thuộc hai lớp 12A hoặc 12B, có  ____ cách chọn 5 học sinh thuộc cả ba lớp trên.

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{a}\right|=2;\left|\overrightarrow{b}\right|=1;$ $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=120^{\circ }.$

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?