Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 30

Tính giới hạn $\lim \frac{3^n-4^n+5^n}{3^n+4^n-5^n}$ (nhập đáp án vào ô trống).

____

Trong một hội trường có một số lượng ghế nhất định, được xếp thành từng hàng một. Hàng đầu tiên có 20 chiếc ghế, và từ hàng thứ hai trở đi, hàng sau có nhiều hơn hàng trước 2 chiếc ghế. Người ta muốn thêm một hàng ghế nữa ở phía sau cùng trong hội trường bằng cách lấy một số lượng ghế nhất định từ những hàng ghế trước đó. Biết rằng nếu từ mỗi hàng đã có, ta lấy đi 4 chiếc ghế và số ghế lấy đi được xếp vào sau cùng tạo thành hàng ghế mới thì số ghế ở hàng sau cùng vẫn đảm bảo nhiều hơn hàng trước 2 chiếc. Tìm số ghế có trong hội trường (nhập đáp án vào ô trống).

____

Khi trên bảng ghi 2025 số tự nhiên từ 1 đến 2025, ta cần xóa đi ít nhất bao nhiêu số để các số còn lại trên bảng có tính chất không có ba số nào mà một trong ba số đó bằng tích của hai số còn lại (nhập đáp án vào ô trống).

___

Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các em học sinh khối 12 của trường X đã tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai nhựa của các em học sinh theo bảng số liệu sau:

Tính số vỏ chai nhựa trung bình mà mỗi học sinh khối 12 của trường X đã thu nhặt được.

Cho tập hợp $S=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$. Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập $S$. Tính xác suất của biến cố trong ba số được chọn ra không chứa hai số nguyên liên tiếp nào (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$, đạo hàm $y=f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[-10;10\right]$ để hàm số $g\left(x\right)=2mx-f\left(2x-2\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị được cho như hình vẽ sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất của $g\left(x\right)=\frac{1}{2}f\left(2x-1\right)+3$ trên đoạn $\left[0;2\right]$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Biết rằng hàm số $y=\left(x-m\right)\left(x-1\right)\left(x+m-2\right)$ ($m$ là tham số khác 1) có hai điểm cực trị. Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số này bằng

Một người đàn ông chèo thuyền ngược dòng nước một quãng đường dài 15 km. Tốc độ của dòng nước là $3km/h$. Nếu vận tốc của thuyền khi nước đứng yên là $v\left(km/h\right)$ thì năng lượng tiêu hao của người của người đàn ông trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E\left(v\right)=c{v}^{3}t$ (trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng đơn vị Jun). Người đàn ông chèo thuyền ngược dòng quãng đường 15 km trong khoảng thời gian $t$ với vận tốc bao nhiêu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất?

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin x+3x^2$ là

Biết $\underset{2}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{x-1}{x}\right)}^{2}dx=a+b\ln 2+c\ln 3$, trong đó $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức $T=6a+3b+2c$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho các hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ và $g\left(x\right)=mx+n$ có đồ thị lần lượt là đường cong $\left(C\right)$ và đường thẳng $d$ như hình vẽ.

Cho biết $AB=5$ và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left(C\right)$ và đường thẳng $d$ bằng $\frac{p}{q}$, trong đó $p,q$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{p}{q}$ tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=p+q$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$, biết rằng $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{4}{1+\cos 2x}\forall x\in \left(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ và $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=1$. Biết giá trị của tích phân $I=\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\left(f\left(x\right)+2\right)\cdot \mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x\right)dx=\frac{\pi +a}{b}$, với $a,b$ là các số tự nhiên. Tính giá trị của biểu thức $S=a-b$(nhập đáp án vào ô trống).

____

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[-1;6\right]$ và có đồ thị là đường gấp khúc $ABC$ trong hình dưới. Biết $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của $f\left(x\right)$ thỏa mãn $F\left(-1\right)=-1$. Tính giá trị của $F\left(4\right)+F\left(6\right)$(nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left(1;-1;2\right),B\left(2;1;0\right)$,$C\left(-1;1;1\right),D\left(2;3;1\right)$. Gọi $\left(L\right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ trong không gian thỏa mãn đẳng thức $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2=100$. Biết rằng $\left(L\right)$ là một mặt cầu, mặt cầu đó có bán kính $R$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+3z=0,\left(Q\right):x+4z-1=0$. Giao tuyến của hai mặt phẳng trên có một vectơ chỉ phương là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(1;1;-4\right)$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-3}{-3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{2}$ và $d_2:\frac{x-2}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-1}{-2}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $\left(P\right)$(nhập đáp án vào ô trống).

__

Một trạm phát tín hiệu chỉ phát hai loại tín hiệu X và Y với xác suất tương ứng là 0,72 và 0,28. Do có nhiễu trên đường truyền tín hiệu nên khả năng tín hiệu X bị méo thành tín hiệu Y là $\frac{1}{6}$, và khả năng tín hiệu Y bị méo thành tín hiệu X là $\frac{1}{4}$. Biết rằng tín hiệu thu được là tín hiệu đúng so với tín hiệu phát, xác suất để tín hiệu đó là tín hiệu Y là bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $I\left(1;-2;1\right)$; bán kính $R=4$ và   đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{-1}$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa $d$ và cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt phẳng $\left(P\right)$ lớn nhất.

Lớp 10A có 44 học sinh, gồm 24 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Vào đầu năm học giáo viên chủ nhiệm chọn một bạn làm lớp trưởng, sau đó chọn một bạn làm lớp phó. Xác suất bạn lớp phó là nữ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(6;5;-1\right),B\left(4;-2;3\right)$. Tính số đo góc nhị diện $\left[A,Ox,B\right]$ theo đơn vị độ (nhập đáp án vào ô trống).

____

Trong không gian với hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômet), ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A\left(750;450;7\right)$ đến điểm $B\left(950;550;9\right)$ trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay trong 10 phút đến điểm $C\left(x;y;z\right)$ thì $x+y+z$ bằng (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Trong hệ tọa độ Descartes, cho ba điểm $A\left(2;4\right),B\left(3;2\right),C\left(6;7\right)$. Tính giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ (nhập đáp án vào ô trống).

____

Một nhóm học sinh gồm 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 13 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ?

Gọi $S$ là tập hợp các nghiệm nguyên dương của bất phương trình $2x^2-x-15\le 0$. Tính tổng giá trị các phần tử của $S$ (nhập đáp án vào ô trống).

__