Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 29

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^2$ trong khai triển của nhị thức ${\left(x+3\right)}^4$(nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho parabol $\left(P\right):y=3x^2-\left(m-1\right)x+m^2-5m-6$ ($m$ là tham số). Tìm số giá trị nguyên của $m$ để $\left(P\right)$ cắt trục hoành tại hai điểm nằm khác phía đối với trục tung (nhập đáp án vào ô trống).

__

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng hai số nguyên $b$ thỏa mãn $\left(5^b-1\right)\left(a\cdot 2^b-5\right)<0$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho cấp số nhân $\left\{u_n\right\}$ thoả mãn tất cả các điều kiện sau:

i. $\frac{u_4}{u_1}>1$

ii. $u_3,u_5,u_6$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Giá trị của biểu thức $S=\frac{u_7-u_6}{u_5}$ bằng:

Giải phương trình $\frac{2\sin x}{\cot x}-\frac{\tan x}{\sin x}=2\left(\sin x-\cos x\right)$ ta được họ nghiệm $x=\frac{\pi }{a}+\frac{k\pi }{b},k,a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $P=2a+3b$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho đường tròn $\left(C_1\right)$ có tâm $I_1$, bán kính $R_1=128\left(\mathrm{cm}\right)$ và một điểm $A$ nằm trên $\left(C_1\right)$. Đường tròn $\left(C_2\right)$ có tâm $I_2$ và đường kính $I_{1}A\dots$ Cứ như vậy đường tròn $\left(C_n\right)$ có đường kính $I_{n}A$. Gọi $P_1,P_2,P_3\dots P_n$ lần lượt là chu vi của các đường tròn $\left(C_1\right),\left(C_2\right),\left(C_3\right)\dots \left(C_n\right)$. Tính $P=P_1+P_2+P_3+\dots +P_n$.

Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a$ khác 1, đặt $P=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_a{b}^3+\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{a^2}{b}^{10}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tìm số nghiệm của bất phương trình $\left[1-\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_3\left(x+6\right)\right]\sqrt{2\cdot 4^{x+1}-17\cdot 2^x+2}\ge 0$ (nhập đáp án vào ô trống)

__

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau và $AB=AC=AD=a$. Có $M$ là trung điểm của $BC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AM$ và DC (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị độ).

___

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$. Đường thẳng $A{B}^{\prime }$ tạo với mặt phẳng $\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$ một góc $30^{\circ }$. Biết thể tích khối lăng trụ đã cho là $\frac{a^3\sqrt{6}}{k}$, tính giá trị của biểu thức $T=k^2$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ nhóm 10 học sinh đó đi lao động. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ.

Một chiếc máy có hai động cơ là động cơ I và động cơ II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,9 và 0,85. Chiếc máy chỉ không thể hoạt động nếu cả hai động cơ đều chạy không tốt. Tính xác suất để chiếc máy có thể hoạt động.

Cho hàm số $f\left(x\right)=-x^3+3x^2+1$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[1;3\right]$. Giá trị của biểu thức $T=M^2-m^2$ là

Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao $100\left(\mathrm{cm}\right)$ và thể tích chứa $400\left({\mathrm{m}}^3\right)$. Biết giá thành để làm mặt bên là 3 triệu đồng/m²  và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/m². Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn theo đơn vị triệu đồng).

_____

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{a{x}^2+2x+3}{x+b}\left(a\ne 0;a,b\in \mathbb{R}\right)$. Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận xiên là$y=2x-5$. Khi đó giá trị của $b-a$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống).

____

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin \left(2x+1\right)$.

Cho hàm số $f\left(x\right)$ trên $\mathbb{R}$, gọi $F\left(x\right),G\left(x\right)$ là hai nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left(8\right)+G\left(8\right)=11$ và $F\left(2\right)+G\left(2\right)=5$. Khi đó $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(3x-1\right)dx$ bằng (nhập đáp án vào ô trống).

__

Có 10 người bao gồm cả Ánh và Bình sống trong vài thành phố. Ánh nhận ra rằng khi cộng tất cả khoảng cách từ thành phố của cô ấy đến 9 người bạn còn lại thì được 100 km. Nếu Bình cũng làm như cô ấy thì khoảng cách tối đa Bình nhận được là bao nhiêu km? ( giả sử tất cả các thành phố là các điểm trên mặt phẳng, nếu hai người cùng một thành phố thì thì khoảng cách của họ là 0) (nhập đáp án vào ô trống).

____

Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m.

Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ $\left(200;70;118\right)$. Sau 50 giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm 400 m. Hỏi sau 25 giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu kilômét, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ $\left(80;105;113\right)$ (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=3,SA\perp \left(ABCD\right)$. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{AB}$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M\left(1;2;3\right)$ và $S\left(1;3;-4\right)$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $M$ và cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$( nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

_____