Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 28

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left(1;1\right)$ và $B\left(7;5\right)$. Điểm $C\left(a;b\right)$ thuộc trục $Ox$ sao cho vectơ $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$ có độ dài ngắn nhất. Tính $S=a+b$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Sản lượng lúa (tấn) của 40 thửa ruộng có cùng diện tích được trình bày trong bảng số liệu sau

Phương sai của bảng số liệu bằng (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Để tính đường kính và diện tích của một miệng giếng nước có dạng hình tròn, người ta tiến hành đo tại ba vị trí $A,B,C$ trên thành giếng. Kết quả đo được là $BC=6\mathrm{m}$, $\widehat{BAC}=150^{\circ }$ như hình dưới. Hỏi diện tích miệng giếng là bao nhiêu mét vuông (nhập kết quả vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

____

Nếu nhân viên lựa chọn phương án 2 thì tháng thứ 10 sẽ nhận được số tiền bằng: (đơn vị triệu đồng)

Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác họ nghiệm của phương trình $2\sqrt{3}\sin \left(x-\frac{\pi }{8}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{8}\right)+2\mathrm{co}{\mathrm{s}}^2\left(x-\frac{\pi }{8}\right)=\sqrt{3}+1$ có số các điểm biểu diễn là (nhập đáp án vào ô trống).

__

Với mọi giá trị của $a>0,a\ne 1$, đồ thị hàm số $y=a^{x-2}$ luôn đi qua điểm cố định $A$ và đồ thị hàm số $y=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_a\left(4-x\right)$ luôn đi qua điểm cố định $B$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

Biết $\underset{n\to +\infty }{\text{lim}}\left(\sqrt{9n^2+5n+4}-\sqrt[3]{27n^3+4n^2+9n+8}\right)=\frac{a}{b}$, với $a,b>0;\left(a,b\right)=1$. Khi đó, giá trị của biểu thức $S=ab$ bằng (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP=2DP$. Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ và mặt phẳng $\left(MNP\right)$. Tính $\frac{FA}{FD}$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho $a,b$ là hai số thực khác 0 thỏa mãn ${\left(\frac{1}{64}\right)}^{a^2+4ab}=(\sqrt[3]{256}{)}^{3a^2-10ab}$. Tính tỷ số $\frac{b}{a}$ bằng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Góc giữa $SB$ và $\left(ABCD\right)$ bằng

Từ một bộ bài tây có 52 lá, người ta ngẫu nhiên lấy ra ba lá bài. Xác suất để ba lá bài được lấy ra là ba lá bài đồng chất hoặc là ba lá bài hình (tức là lá bài $\mathrm{J},\mathrm{Q},\mathrm{K}$) là (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Ở một công ty sản xuất bút bi, giả sử $C\left(x\right)=10000-300x-3x^2+0,004x^3$ ( nghìn đồng) là hàm chi phí để sản xuất $x$ bút bi và $p\left(x\right)=2700-3x$ (nghìn đồng) là giá bán cho một chiếc bút bi. Lợi nhuận lớn nhất thu được là bao nhiêu triệu đồng (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-1\right)}{f^2\left(x\right)-4f\left(x\right)+3}$ là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc đoạn$\left[0;2025\right]$ để hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^3-3x^2+m\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$ (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-2}{x+1}dx=-\frac{1}{m}+n\ln 2$, với $m,n$ là các số nguyên. Tính $m-n$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Gọi $\phi$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}=\left(1;2;0\right)$ và $\vec{b}=\left(2;0;-1\right)$, khi đó $\cos \phi$ bằng:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)$ với $a,b,c>0$. Biết rằng mặt phẳng $\left(ABC\right)$ đi qua điểm $M\left(\frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{3}{5}\right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right):\left(x-1\right)+\left(y-2\right)+\left(z-3\right)=4$. Tính giá trị biểu thức $P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$(nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong một công ty, tỷ lệ nhân viên nữ là $56\%$. Tỷ lệ nhân viên nữ và tỷ lệ nhân viên nam đã tốt nghiệp trường đại học X lần lượt là $24\%$ và $18\%$. Gặp ngẫu nhiên một nhân viên trong công ty, biết rằng nhân viên đó tốt nghiệp trường đại học X. Tính xác suất nhân viên đó là nam.

Cho $P\left(A\mid B\right)=\frac{1}{4},P\left(B\mid A\right)=\frac{1}{3},P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=\frac{1}{10}$. Khi đó, giá trị của $P\left(A\right)$ bằng (nhập đáp án vào ô trống):

_____

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M\left(1;0;2\right),N\left(2;-3;0\right),P\left(2;3;2\right)$. Chu vi tam giác $MNP$là (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

_____