Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 23

Biết $2^x+\frac{1}{2^x}=3$, tính giá trị của biểu thức $T=8^x+\frac{1}{8^x}$  (nhập đáp án vào ô trống).

___

Một công ty tăng lương cho nhân viên hàng năm bằng cách thêm 1 số tiền cố định vào lương của họ. Ví dụ: Nếu lương ban đầu của một nhân viên là 10 triệu đồng và công ty tăng lương 2 triệu đồng mỗi năm thì lương của nhân viên sẽ là bao nhiêu triệu đồng nếu làm cho công ty 19 năm (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Cho phương trình $3\mathrm{ta}{\mathrm{n}}^{3}x-\tan x+\frac{3\left(1+\sin x\right)}{\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x}-8\mathrm{co}{\mathrm{s}}^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)=0$. Khi đó $3\mathrm{ta}{\mathrm{n}}^{2}x+1$ bằng (nhập đáp án vào ô trống).

__

Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 15 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 10 quả cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 9 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

_____

Một nhà máy sử dụng hai dây chuyền để sản xuất bánh kẹo và cho ra thị trường hai loại sản phẩm: sản phẩm loại A và sản phẩm loại B. Thời gian sử dụng tối đa của các dây chuyền I và II lần lượt là 18 giờ và 16 giờ. Bảng dưới đây cho biết thời gian sử dụng mỗi dây chuyền để sản xuất ra 1 tấn sản phẩm các loại và lợi nhuận mà nhà máy thu được trên mỗi tấn khi bán sản phẩm.

Lợi nhuận tối đa mà nhà máy thu được khi bán sản phẩm là (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị tính: triệu đồng).

____

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[-20;20\right]$để bất phương trình$\frac{x^2+3x+3}{x+1}\ge m$ có nghiệm $x\in \left[0;1\right]$ (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{\left(f\left(x+1\right)-4\right)\sqrt{x^2-4}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Hình phẳng $\left(H\right)$ được giới hạn bởi đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số đa thức bậc ba và parabol $\left(P\right)$ có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng $\frac{a}{b}\left(a,b\in \mathbb{Z};\left(a,b\right)=1\right)$. Giá trị của biểu thức $a-3b$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Biết họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\mathrm{co}{\mathrm{s}}^2\frac{x}{2}-3\sqrt{x}$ là $a\sin x+bx+c{\sqrt{x}}^3+C$, trong đó $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Tính $T=a+b-c$  (nhập đáp án vào ô trống).

__

Biết $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=10$ và $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx=5$. Tính tích phân $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[3f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right]dx$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(-1;2;5\right),B\left(3;-1;0\right);C\left(-4;0;-2\right)$. Điểm $M\left(a,b,c\right)$ sao cho $\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. Tính $T=a+b+c$ (nhập đáp án vào ô trống).

____

Một cửa hàng tạp hóa bán hai loại chậu bao gồm 5 chiếc chậu màu xanh và 4 chiếc chậu màu đỏ (tất cả các chậu giống nhau chỉ khác màu sắc). Chị Hoa ra cửa hàng tạp hóa mua ngẫu nhiên một chiếc chậu, sau đó về nhà chị thấy vẫn cần một chiếc nữa nên quay lại mua tiếp một chiếc. Cả hai lần chủ cửa hàng đều lấy ngẫu nhiên cho chị một chiếc chậu trong số chậu có sẵn ban đầu mà không bổ sung thêm. Xác suất chị Hoa mua được chậu màu xanh vào lần sau là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

_____

Mái của một căn nhà nghiêng đều một góc $\alpha$ so với mặt đất được minh họa như hình vẽ. Biết rằng nếu đặt trong không gian $Oxyz$ thì mặt đất nằm tương ứng với mặt phẳng $\left(Oxy\right)$, đoạn $AB$ là một cạnh của mái nhà với $A\left(3;-2;3\right)$ và $B\left(-3;1;5\right)$. Góc $\alpha$ bằng bao nhiêu độ (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

___

Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____