Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 21

Một nhóm học sinh có 5 bạn nữ, 4 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Cho một tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $\left(n\ge 4\right)$. Biết số tập con gồm 4 phần tử của $A$ gấp 20 lần số tập con gồm hai phần tử của $A$. Giá trị của $n$ là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu: 21    35    17    43    8    59    72    119 bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Tổng $S=-1+\frac{1}{10}-\frac{1}{{10}^2}+\dots +\frac{{\left(-1\right)}^n}{{10}^{n-1}}+\dots =-\frac{k}{11}$. Giá trị của $k$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Biết $\underset{0}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)dx=4$, giá trị $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(2x\right)dx$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Khối chỏm cầu có bán kính $R=3$ và chiều cao $h=\frac{3}{2}$ sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y=\sqrt{9-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=\frac{3}{2},x=3$ xung quanh trục $Ox$. Thể tích khối chỏm cầu này bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

_____

Một bình đựng 5 viên bi kích thước và chất liệu giống nhau, chỉ khác nhau về màu sắc. Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(m;n\right)$ để phương trình $\left|f\left(x\right)-m\right|=2n$ có đúng 5 nghiệm (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(-2;1;3\right)$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ tại $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$. Viết phương trình mặt cầu tâm $O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất để sản phẩm lấy được đó là của lô thứ hai?

Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất để sản phẩm đó của lô I là bao nhiêu?

Cho $F\left(x\right)$ là họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin x-\cos x+\frac{2}{\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x},F\left(0\right)=1$. Giá trị $F\left(\pi \right)$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường tròn $\left(C\right)$ đi qua 3 điểm $M\left(2;-2\right),N\left(3;-1\right),P\left(-1;-3\right)$ có bán kính bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(2;-3;5\right)$. Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left(2;-1;1\right)$ là:

Cho $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\left(2\tan x+\cot x\right)}^2\mathrm{d}x=a+b\sqrt{3}+c\pi$ (*). Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn (*). Tổng $a+3b+12c$ có giá trị bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Cho điểm $M\left(10;0;0\right)$ và hai mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+y+z+1=0$ và $\left(\beta \right):5x+y-z-3=0$. Cho mặt phẳng $\left(\gamma \right)$ đi qua $M$, vuông góc với $\left(\alpha \right)$ đồng thời vuông góc với $\left(\beta \right)$. Biết rằng điểm $I\left(2m^2;m;0\right)$ nằm trên mặt phẳng $\left(\gamma \right)$. Tổng các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y-7=0$ và điểm $A\left(2;-1;2\right)$. Gọi $d:\frac{x-3}{-4}=\frac{y-m}{a}=\frac{z+n}{b}$ là đường thẳng đi qua $A$, tiếp xúc với $\left(S\right)$ và cách gốc tọa độ $O$ một khoảng lớn nhất. Giá trị của biểu thức $T=a+b+m+n$ là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }\left(x\right)+2xf\left(x\right)=2x{e}^{-x^2}$. Biết $f\left(1\right)=\frac{2}{e}$, tính $f\left(0\right)$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Một chiếc tàu ngầm có dạng hình cầu có phương trình là $x^2+y^2+z^2-60x-30y-100z+3600=0$  trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên trục: $m$) đang ở độ sâu $45m$ so với mặt nước biển (tính đến tâm của tàu). Trên tàu có gắn một thiết bị do thám ở vị trí cách xa mặt nước nhất có thể. Khoảng cách từ thiết bị do thám đến bề mặt nước biển là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

___