Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 17

Một câu lạc bộ gồm 27 học sinh yêu thích thể thao, mỗi bạn đều chơi giỏi ít nhất một trong 3 môn thể thao là bóng đá, cầu lông và bóng chuyền. Có 14 học sinh giỏi bóng đá, 12 học sinh giỏi bóng chuyền, 10 học sinh giỏi cầu lông, 4 học sinh giỏi cả bóng đá và bóng chuyền, 3 học sinh giỏi cả bóng chuyền và cầu lông, 3 học sinh giỏi cả bóng đá và cầu lông. Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ chơi giỏi bóng đá (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H\left(3;2\right)$ và trọng tâm $G\left(\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$. Đường thẳng $BC$ có phương trình là $x+2y-2=0$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn $\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}a=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_9\left(ab\right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Dòng điện xoay chiều là dòng điện có chiều biến thiên tuần hoàn và cường độ biến thiên điều hoà theo một chu kỳ nhất định. Một một đoạn mạch có biểu thức cường độ dòng điện xoay chiều là $i=2\cos \left(100\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$ (A). Trong 3 giây đầu tiên, số lần cường độ dòng điện có độ lớn bằng 1A là

Người ta trồng 10000 cây thành nhiều hàng theo cách như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 3 cây, hàng thứ ba có 5 cây, v.v... Hỏi hàng cuối cùng trồng bao nhiêu cây (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Một mật khẩu mở cửa gồm có 3 ký tự là các chữ số tự nhiên từ 0 đến 9. Mật khẩu chính xác là một số tự nhiên có 3 chữ số sao cho chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng trăm. Xác suất để một người nọ không biết mật khẩu, sau một lần bấm mở được cửa là:

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $\left(3^{x^2}-9^x\right)\left[\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_3\left(x+25\right)-3\right]\le 0$?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}& \mathrm{khi}x\ne 4\\ a+2& \mathrm{khi}x=4\end{array}$. Tìm $a$ để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó.

Hàm số $f\left(x\right)=\sin \frac{x}{10}+\tan \frac{x}{8}$ có chu kì tuần hoàn nhỏ nhất là bao nhiêu?

Gọi $S$ là tập hợp các nghiệm thực của phương trình $2^{x^2-3x+2}-2^{x^2-x-2}=2x-4$. Số phần tử của $S$ là (nhập đáp án vào ô trống).

__

Từ độ cao 60 m của một tòa nhà, người ta thả rơi tự do một quả bóng cao su. Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{5}$ độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Biết quỹ đạo chuyển động của quả bóng nằm trên một đường thẳng. Tính tổng độ dài hành trình mà quả bóng đã di chuyển kể từ lúc được thả rơi tự do cho đến lúc nằm yên trên mặt đất (nhập đáp án vào ô trống).

___

Tại một nhà máy, gọi hàm số $C\left(x\right)=0,00024x^3-0,03x^2+5x+30$ (đơn vị: triệu đồng) là tổng chi phí sản xuất $x$ tấn sản phẩm $A$ trong một tháng. Tốc độ tăng của tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm $A$ là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{6}$, $SC=a\sqrt{15}$. Hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SAD\right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left(SAC\right)$. Tính $\mathrm{co}{\mathrm{t}}^2\alpha$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Tìm số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{mx+10}{2x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$(nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Có mấy giá trị của tham số $m$ để phương trình $f\left(\left|x-2025\right|\right)-2m=0$ có 4 nghiệm (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Thuốc lá gây hại cho sức khỏe và tính mạng con người. Theo WHO, trong năm 2022, cứ 5 người trưởng thành lại có 1 người hút thuốc hoặc tiêu thụ các sản phẩm thuốc lá. Giả sử tỉ lệ người dân của một tỉnh nghiện thuốc lá là $30\%$; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $80\%$, trong số người không nghiện thuốc lá là $10\%$. Hỏi khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh đó thì khả năng mà người đó bị bệnh phổi là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(2;-1;1\right),M\left(5;3;1\right),N\left(4;1;2\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ có phương trình $y+z-27=0$. Gọi $B$ là điểm thuộc tia $AM,C$ là điểm thuộc $\left(P\right)$ và $D$ là điểm thuộc tia $AN$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình thoi. Tọa độ điểm $C$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $S,A,B,C$ như hình vẽ.

Biết vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BS}$ có tọa độ là $\left(a;b;c\right)$. Tính giá trị biểu thức $T=a+2b+3c$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M\left(1;2;3\right)$ và $N\left(-3;-2;-1\right)$. Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua trung điểm của $MN$ và vuông góc với đường thẳng $MN$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $M\left(2;-1;0\right)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai $d=3$. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị (nhập đáp án vào ô trống).

__

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{4x+1}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-2=0$ và mặt phẳng $\left(P\right):x-my+z+3m-2=0$. Gọi $P$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để mặt phẳng $\left(P\right)$ cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng $6\pi$. Tính tổng các phần tử của $P$?

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A\left(-2;1;3\right),B\left(0;-2;1\right),C\left(-1;4,3\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-2z+6=0$. Gọi $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left(P\right)$ sao cho biểu thức: $T=\left|\overrightarrow{MC}-5\overrightarrow{MA}\left|+\right|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{2MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$. Tính $A=x_0+y_0+z_0$(nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(-2;1;2\right)$ và đi qua điểm $A\left(1;-2;-1\right)$. Xét các điểm $B,C,D$ thuộc (S) sao cho $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất (nhập đáp án vào ô trống).

___

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right)3x-2y+z-6=0$. Điểm $M\left(a,b,c\right)$ thuộc mặt phẳng $\left(P\right)$ sao cho $|MA-MB{|}_{\max }$, biết điểm $A\left(-1;2;2\right),B\left(2;1;-1\right)$. Tính tổng $T=a+b+c$(làm tròn kết quả đến hàng phân trăm) (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }\left(x\right)+2xf\left(x\right)=2x{e}^{-x^2}$. Biết $f\left(1\right)=\frac{2}{e}$, tính $f\left(0\right)$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[-5;5\right]$ để hàm số $y=f\left(x^2-2mx+m^2+1\right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{1}{2}\right)$. Tính tổng giá trị các phần tử của $S$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AC=2a,\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^{\circ }$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $SA$ và mặt phẳng $\left(SBC\right),\beta$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left(SAB\right)$. Biết $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4},\sin \beta =\frac{\sqrt{6}}{4}$ và $SB$ không vượt quá $a\sqrt{6}$, tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Xác định ngưỡng cân nặng để chọn ra $25\%$ bạn có cân nặng cao nhất?

Giả sử trong số các phiếu thầy giáo đã rút ra, Sơn được phép chọn ngẫu nhiên 1 phiếu để làm bài. Xác suất để Sơn biết làm câu hỏi ghi trên phiếu đó là

Giả sử trong số các phiếu thầy giáo đã rút ra, Sơn được phép chọn ngẫu nhiên 2 phiếu để làm bài. Biết rằng Sơn biết làm cả 2 câu hỏi ghi trên 2 phiếu đó. Tính xác suất để cả 2 phiếu Sơn chọn đều ghi câu hỏi môn Vật lý