Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 16

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị $y=f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ:

_____

Cho $f\left(x\right)=m{x}^2-2mx+4$. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để $f\left(x\right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ là

Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 20 m, độ dài trục bé bằng 16 m. Người ta dự định trồng hoa trong hình chữ nhật nội tiếp elip như hình vẽ.

Tính diện tích phần trồng hoa (m²), biết chiều dài của phần trồng hoa là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (nhập đáp án vào ô trống).

____

Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,95 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; có xác suất lây bệnh là 0,2 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Anh Thành tiếp xúc với một bệnh nhân hai lần, trong đó có một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất anh Thành bị lây bệnh truyền nhiễm từ người bệnh mà anh tiếp xúc (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $a$ thuộc khoảng $\left(0;2025\right)$ để $\lim \sqrt{\frac{5^n+3^{n+2}}{4^{n+1}+5^{n+2a}}}\le \frac{1}{125}$ (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, biết $f^{\prime }\left(x\right)=\left(x^2-4x+3\right)\left(x-3\right)\left(2-x\right)$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Cho hàm số $f\left(x\right)=2x^3-3\left(m+1\right)x^2+6mx+1$ ($m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[-10;10\right]$ để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(1;3\right)$ (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách $l$ từ vật đến vị trí cân bằng ở thời điểm $t$ giây được tính theo công thức $l=\left|d\right|$ trong đó $d=20\cos \left(10t+\frac{\pi }{6}\right)\mathrm{cm}$. Ta quy ước rằng $d>0$, khi vật ở trên vị trí cân bằng, $d<0$ khi vật ở dưới vị trí cân bằng. Hỏi trong dây đầu tiên, có bao nhiêu thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Một hộp chứa 20 chiếc thẻ được đánh số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 6 chiếc thẻ từ hộp. Tính xác suất để trong 6 chiếc thẻ lấy ra, có ít nhất 1 thẻ được đánh số chia hết cho 6.

Biết $F\left(x\right)$ là một họ nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{x}{{\left(x+1\right)}^3}$ và $F\left(0\right)=\frac{1}{2}$. Khi đó $F\left(1\right)+F\left(2\right)$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến phần trăm) (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, cạnh $AB=2a,BC=2a\sqrt{2},OD=a\sqrt{3}$. Tam giác $SAB$ nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left(SAB\right)$. Giá trị ${\left(\frac{d}{a}\right)}^2$ bằng (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(1;-3;2\right)$ và $B\left(-2;1;-4\right)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ sao cho $MN=4$. Giá trị lớn nhất của $\left|AM-BN\right|$ bằng

Cho một đa giác gồm 8 đỉnh. Ta chia đa giác thành các tam giác bằng cách vẽ các đường chéo không cắt nhau trong đa giác. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị dương của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2+\left(m+12\right)x-m$ đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $\left|x_1-x_2\right|\le 4\sqrt{11}$. Tính số phần tử của $S$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Phân tích vecto $\overrightarrow{MK}$ theo các vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{SA}$?

Phân tích vecto $\overrightarrow{MI}$ theo các vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{SA}$?

Trong buổi lễ khai mạc trước trận chung kết bóng đá nam, có 4 trọng tài và 2 đội bóng, mỗi đội gồm 11 cầu thủ tham gia bắt tay với nhau. Mỗi cầu thủ của hai đội bắt tay một lần với mọi người trừ đồng đội của mình, những trọng tài không chủ động bắt tay với người khác. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu cái bắt tay (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Cho một mạch điện kín gồm nguồn điện có suất điện động $E\left(V\right)$ và điện trở trong $r\left(\mathrm{\Omega }\right)$ không thay đổi; mạch ngoài có biến trở $R\left(\mathrm{\Omega }\right)$. Khi đó, công suất tiêu thụ ở mạch ngoài là $P=\frac{E^{2}R}{{(R+r)}^2}$. Tìm giá trị lớn nhất của công suất tiêu thụ mạch ngoài $P$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{3}$. Gọi giao điểm của đường thẳng $d$ và và mặt phẳng tọa độ $\left(Oxz\right)$ là $I\left(a;b;c\right)$. Tính $S=a+b+c$ (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\left(1+\frac{x}{\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x}\right),\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ là

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+\left(m-1\right)x-10}{x+2m}$ có khoảng cách giữa hai điểm cực trị không lớn hơn $10\sqrt{10}$ là (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có diện tích bằng 20. Đỉnh B và C nằm trên đường thẳng: $x-y-5=0$, điểm $A\left(1;-2\right)$. Đỉnh B có tọa độ dạng $B\left(a,b\right)$, với $a>0$. Tính tổng $a+b$(nhập đáp án vào ô trống).

___

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0$ và mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z-3=0$. Gọi $M,N$ là các điểm lần lượt thuộc $\left(P\right)$ và $\left(S\right)$ sao cho vectơ $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ $\vec{u}=\left(1;0;1\right)$. Giá trị lớn nhất của độ dài $MN$ là:

Cho tam giác $ABC$ có diện tích là $12\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$. Dựng tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ sao cho $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Dựng tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ sao cho $A_2,B_2,C_2$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B_1{C}_1,C_1{A}_1,A_1{B}_1\dots$ Tiếp tục quá trình này cho đến khi diện tích tam giác dựng được bằng 0. Tính tổng diện tích các tam giác đã dựng (nhập đáp án vào ở trống, đơn vị cm2).

__

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(x\right)=x^3+3\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}f\left(x\right)dx,\forall x\in \mathbb{R}$. Tính $f\left(-1\right)$.