Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Công an môn Toán (có đáp án) - Đề số 3

Hàm số $$y=\frac{3}{5}{x}^5-3x^4+4x^3-2$$ đồng biến trên khoảng nào?

Moment lực là một đại lượng vật lý, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian $$Oxyz$$, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí $P$ một lực $\overrightarrow{F}$ để vặn con ốc ở vị trí $O$ (xem hình dưới) thì moment lực $\overrightarrow{M}$ được tính bởi công thức $\overrightarrow{M}=\left[\overrightarrow{OP},\overrightarrow{F}\right]$. Cho $\overrightarrow{OP}=\left(x;y;z\right),\overrightarrow{F}=\left(a;b;c\right)$. Nếu giữ nguyên lực tác động $\overrightarrow{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực từ $P$ sang $P^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=2\overrightarrow{OP}$ moment lực là $\overrightarrow{M^{\prime }}$. Khi đó $\overrightarrow{M^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{M}$. Tính $k$.

Một công ty quảng cáo $X$ muốn làm một bức tranh trang trí hình $MNEIF$ ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $BC=6\mathrm{m}$, chiều dài $CD=12\mathrm{m}$. Cho biết $MNEF$ là hình chữ nhật có $MN=4\mathrm{m}$; cung $EIF$ có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ và đi qua hai điểm $C,D$. Kinh phí làm bức tranh là $$900000$$ đồng$$/{\mathrm{m}}^2$$. Hỏi công ty $X$ cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

Tìm giá trị của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $$y=\frac{2x^2+3mx-m+2}{x-1}$$ có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4.

Mai là một cô gái dễ mến, tuy nhiên trong chuyện tình cảm thì cô không phải là người đơn giản. Hôm ấy có người bạn trai hẹn đi ăn trưa, Mai cho biết cô sẽ gặp người đó vào thời điểm kim giờ và kim phút gặp nhau lần đầu tiên kể từ sau 12h trưa. Nếu người bạn trai ấy đến địa điểm hẹn vào lúc 12h30 trưa thì anh ấy sẽ phải chờ Mai bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu $1\mathrm{m}$. Một ô tô $A$ đang chạy với vận tốc $$16m/s$$ bỗng gặp ô tô $B$ đang dừng đèn đỏ nên ô tô $A$ hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức $v_A\left(t\right)=16-4t$, thời gian tính bằng giây. Để $2$ ô tô $A$ và $B$ đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô $A$ phải hãm phanh khi cách ô tô $B$ một khoảng ít nhất là

Biểu đồ dưới đây biểu diễn số lượng khách hàng đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2025 của một nhà hàng. Cột thứ nhất biểu diễn số ngày có từ 1 đến 6 lượt đặt bàn, cột thứ hai biểu diễn số ngày có từ 6 đến 11 lượt đặt bàn; …

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ trên là

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $C\left(-1;2\right)$, đường cao $BH:x-y+2=0$, đường phân giác trong $AN:2x-y+5=0$. Tọa độ điểm $A$ là

Hình vẽ dưới là hai bánh răng của một động cơ, chúng có cùng kích thước. Khi động cơ hoạt động, hai bánh răng quay đều, cùng chiều. Biết tốc độ quay của bánh răng ở hình 2 gấp ba tốc độ quay của bánh răng ở hình 1 và phương trình biểu thị độ cao của điểm $A$ ở bánh răng thứ nhất là $h=2R+R\sin \left(\frac{\pi }{5}t\right)$ (trong đó $R$ là bán kính bánh răng, $t$ là thời gian tính bằng phút, $h$ là độ cao của điểm $A$). Giả sử tại thời điểm bắt đầu khởi động, hai điểm $A$, $B$ có độ cao bằng nhau và tâm của hai bánh răng $O_1$, $O_2$ ở độ cao $2R$ so với mặt đất. Tìm thời điểm đầu tiên sau khi động cơ hoạt động hai điểm $A$, $B$ có độ cao bằng nhau.

Doanh thu bán hàng trong $$20$$ ngày của hai cửa hàng được lựa chọn ngẫu nhiên được cho dưới dạng biểu đồ hình cột sau:

Độ chênh lệch về độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về doanh thu bán hàng của hai cửa hàng trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x^2-3\right)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=1-3t\end{array}$. Đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ $O$, vuông góc với trục hoành $Ox$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là:

Tổng khoảng cách từ hai vị trí chiến đấu cơ đến mặt phẳng chứa đường băng bằng

Tọa độ điểm $$A^{\prime }$$ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng $\left(P\right)$ là

Ông Vượng mới khai phá được một mảnh đất hình chữ nhật, nhà nước chưa cấp sổ nên ông cũng chưa biết rõ diện tích mảnh đất là bao nhiêu, chỉ nhớ rằng bản thân là học sinh giỏi toán 12 năm liền thời phổ thông mà thôi. Mảnh đất của ông Vượng nằm ở một vị trí thuận lợi để trồng trọt vì có một dòng suối nhỏ chảy qua với hình dáng một parabol, dòng suối nhỏ này chia mảnh đất ra làm hai phần có diện tích $$S_1,S_2\left(S_1>S_2\right)$$. Riêng mảnh đất có diện tích $$S_2$$ được xem như hình phẳng giới hạn bởi parabol cùng hai tiếp tuyến vuông góc của parabol đó.

Vào vụ Hè thu, ông Vượng quyết định trồng lúa trên phần đất có diện tích $$S_1$$ và trồng ớt trên phần đất có diện tích $$S_2$$. Dự kiến lợi nhuận mang lại từ việc trồng lúa là $$30$$ nghìn/m2 và lợi nhuận từ việc trồng ớt là $$40$$ nghìn/m2 (trong một vụ mùa).

 

Ông quyết định dựng hệ trục Oxy như hình vẽ với gốc O trùng với điểm cực trị của dòng suối dạng parabol, đơn vị trên mỗi trục là 100 mét. Tính tổng lợi nhuận theo dự kiến của ông Vượng sau vụ Hè thu này (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng), biết rằng diện tích con suối không đáng kể.

____