Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Công an môn Toán (có đáp án) - Đề 1

Hàm số $$y=2x^4+1$$ đồng biến trên khoảng nào?

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\{\begin{array}{l}x=5-2t\\ y=5+3t\\ z=2t\end{array}$, ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-6}{-4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng

Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s\left(t\right)=A\cdot e^{rt}$ trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $s\left(t\right)$ là số lượng vi khuẩn có sau $t$ phút, $r$ là tỷ lệ tăng trưởng $\left(r>0\right)$, $t$ là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có $100$ con và sau $5$ phút có $300$ con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn tăng gấp $10$ lần so với số lượng ban đầu?

Có hai hộp chứa đồ. Hộp thứ nhất chứa 4 chiếc bút đỏ và $5$ chiếc bút xanh. Hộp thứ hai chứa 8 quyển vở bìa vàng và 5 quyển vở bìa trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một chiếc bút và một quyển vở. Xác suất để lấy được chiếc bút đỏ và quyển vở bìa vàng là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$. Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ như hình vẽ dưới đây.

Đồ thị của hàm số $y={\left[f\left(x\right)\right]}^2$ có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

Một vòng quay quan sát quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng vuông góc với mặt đất. Vòng quay có đường kính bánh xe là $20$ m và có 12 khoang hành khách hình trứng được thiết kế ở những vị trí trên đường tròn bánh xe sao cho khoảng cách giữa hai khoang gần nhất luôn bằng nhau. Vị trí hành khách bước lên khoang hành khách cách mặt đất $5$ m. Sau khi tất cả mọi người đã bước lên khoang hành khách, vị trí khoang hành khách của bạn A. Hỏi vị trí khoang hành khách của bạn A sau khi vòng quay quay được $5\frac{1}{6}$ vòng cách mặt đất bao nhiêu mét? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị như hình vẽ sau.

Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=f\left(4-x\right)+1$ là:

Thực nghiệm tính tuổi thọ của $$100$$ bóng đèn thắp thử như sau:

Số bóng đèn có tuổi thọ chứa trong khoảng $$\left[16;18\right)$$ biết số trung vị của mẫu số liệu trên là $$16,5$$, là

Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục $$Ox$$ (đơn vị trên trục là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị của hàm số $$y=\sqrt{x+1}$$, đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu (làm tròn kết quả nếu cần thiết)?

Miền phẳng trong hình vẽ dưới đây giới hạn bởi hàm số $$y=f\left(x\right)$$ và parabol $$y=x^2-2x$$. Biết $$\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\frac{7}{5}$$.

Khi đó diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $$Oxyz$$, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên $$m$$ để phương trình$$x^2+y^2+z^2+4mx+2my-2mz+9m^2-28=0$$ là phương trình mặt cầu?

Biểu đồ dưới đây mô tả kết quả điều tra về thời gian sử dụng Internet trong một ngày của một số học sinh lớp 12B.

Phương sai của của mẫu số liệu trên là

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a.$ Biết hình chiếu vuông góc của điểm $A^{\prime }$ trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là trung điểm cạnh $AB$ và góc giữa $A^{\prime }C$ và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }C$ là

Điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y=x^3-3x^2+mx+5$ có hai điểm cực trị là:

Cho hình nón $\left(N\right)$ có góc ở đỉnh bằng $60^{\circ },$ độ dài đường sinh bằng $1\mathrm{m}$. Dãy hình cầu $\left(S_1\right),$ $\left(S_2\right),$ $\left(S_3\right),...,$ $\left(S_n\right),...$thỏa mãn: $\left(S_1\right)$ tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón $\left(N\right);$ $\left(S_2\right)$ tiếp xúc ngoài với $\left(S_1\right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $\left(N\right);$ $\left(S_3\right)$ tiếp xúc ngoài với $\left(S_2\right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $\left(N\right)$.

Tổng thể tích các khối cầu $\left(S_1\right),$ $\left(S_2\right),$ $\left(S_3\right),...,$ $\left(S_n\right),...$ với giả sử n vô cùng lớn bằng

Sao Thủy gần như không có khí quyển thật sự như Trái Đất hay sao Kim. Tuy nhiên, nó có một lớp khí rất mỏng gọi là exosphere – tức là thượng quyển loãng, gồm các hạt khí cực kỳ thưa thớt như hydro, heli, oxy, natri...Trong không gian Oxyz, đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, vùng thượng quyển loãng của sao Thủy được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $x^2+y^2+z^2-2x-4y-4=0$. Các nhà khoa học không gian đang quan sát các tiểu hành tinh ở các vị trí có tọa độ $A\left(4;2;4\right),B\left(1;4;2\right)$ và xem xét sự di chuyển của chúng. Nếu tiểu hành tinh nằm trong vùng thượng quyển loãng thì nó sẽ bị hút xuống bề mặt sao Thủy.

Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 31 đến câu 35.

Các nhà quan sát cho rằng có một sao chổi mang tên Haxen di chuyển theo quỹ đạo đường thẳng với vận tốc 51,5 km/s; khoảng cách ngắn nhất từ tâm sao Thủy đến sao chổi bằng $\frac{\sqrt{871}}{10}$ nghìn km. Thời gian sao chổi đi trong vùng thượng quyển loãng của sao Thủy bằng bao nhiêu giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

___

Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng 36, độ dài đường chéo bằng 6. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

_____

Một cái hồ lô trang trí được thiết kế phần chứa nước có thể tích bằng thể tích của một vật thể $\left(V\right)$ trong không gian. Biết rằng, điểm $M$ thuộc $\left(V\right)$ khi và chỉ khi $MA\le \sqrt{3}\mathrm{dm}$ hoặc $MB\le \sqrt{5}\mathrm{dm}$; trong đó $A$ và $B$ là hai điểm cố định, $AB=3\mathrm{dm}$. Thể tích phần chứa nước của hồ lô đó là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

___

Hai bạn An và Bình cùng chơi cờ vua với nhau. Trong một ván cờ, xác suất An thắng Bình là $0,4$ và xác suất để Bình thắng An là $0,35$. Hai bạn sẽ dừng chơi khi có người thắng, người thua. Tính xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ.

_______

Giả sử bạn đang xét một căn bệnh hiếm gặp. Tỷ lệ mắc bệnh trong dân số là 0,5%. Có một xét nghiệm cho căn bệnh này, và xét nghiệm này có các đặc tính sau:

– Nếu người bệnh mắc bệnh, thì xét nghiệm dương tính với xác suất 98%.

– Nếu người bệnh không mắc bệnh, thì xét nghiệm âm tính với xác suất 95%.

Một bác sĩ thực hiện xét nghiệm cho một người có kết quả xét nghiệm là dương tính. Tính xác suất người đó mắc bệnh.

_____