Đề ôn thi Đánh giá năng lực Đại học Sư phạm Hà Nội môn Toán có đáp án - Đề số 2

25 câu · Luyện từng phần ĐGNL ĐH Sư phạm Hà Nội

3/25 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 22 câu còn lại.

Câu 1

Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{5} (x - 2) \leq 1$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 2

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau: Mốt của mẫu số liệu trên là (ảnh 1)

Mốt của mẫu số liệu trên là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 3

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc

v (t) = t^{2} + 10 t

(m/s) với

t

là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc

200 (m/s)

thì rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 4

Người ta cần kéo một vật có trọng lượng $3200 (N)$ lên một con dốc nghiêng $3 0^{\circ}$ so với phương nằm ngang. Nếu lực kéo của mỗi người là $240 (N)$ thì phải dùng ít nhất bao nhiêu người để kéo vật lên?

Thời điểm máy bay đ (ảnh 1)

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 5

Điểm thi môn Toán cuối học kì I của lớp 12A như sau:

Điểm thi môn Toán cuối học kì I của lớp 12A như sau: Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này gần nhất với giá trị nào dưới đây? (ảnh 1)

Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho hai điểm

I (1; 0; - 1)

và

A (2; 2; - 3)

. Mặt cầu

(S)

tâm

I

và đi qua điểm

A

có phương trình là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 7

Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn

[0; 2018 π]

của phương trình

sin 2 x = 1

ta được

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 8

Trong không gian

O x y z

, gọi

d

là đường thẳng đi qua điểm

A (1; - 1; 2)

, song song với mặt phẳng

(P) : 2 x - y - z + 3 = 0

, đồng thời tạo với đường thẳng

Δ : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}

một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng

d

là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 9

Có hai hộp chứa đồ. Hộp thứ nhất chứa 4 chiếc bút đỏ và

5

chiếc bút xanh. Hộp thứ hai chứa 8 quyển vở bìa vàng và 5 quyển vở bìa trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một chiếc bút và một quyển vở. Tính xác suất để lấy được chiếc bút đỏ và quyển vở bìa vàng.

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 10

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x) = x (x + 3) (x - 1)^{2}

. Số điểm cực trị của hàm số bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 11

Gọi

D

là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = e^{2 x}

y = 0

x = 0

x = 1

. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay

D

quanh trục

O x

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 12

Cho hàm số $y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{m x + n}$ (với $a \neq = 0; m \neq = 0$ ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

$Ta có \[V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left (ảnh 1)$

Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 13

Cho cấp số nhân có số hạng đầu

u_{1} = - 2,

công bội

q = \frac{3}{4}

. Số

- \frac{81}{128}

là số hạng thứ mấy của cấp số này?

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 14

Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt lần lượt là

6 a^{2}; 8 a^{2}; 12 a^{2}

. Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 15

Cho

A, B

là hai biến cố xung khắc. Biết

P (A) = \frac{1}{3}, P (B) = \frac{1}{4}

. Tính

P (A \cup B)

ta được kết quả là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 16

Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của

A B + C C^{'}

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 17

Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f (x) = x^{2} e^{x}$ .

a)
Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^{'} (x) = (x^{2} + 2 x) e^{x}$ .
b)
Nghiệm của phương trình $f^{'} (x) = 0$ là $x = 0$ và $x = 2.$
c)
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .
d)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- 1; 1]$ bằng $\frac{1}{e} .$

Đáp án và lời giải

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai

Câu 18

Trong không gian

O x y z

, cho các điểm

A (1; 1; 0)

B (5; - 3; 2)

và

C (0; 4; - 1)

. Xét các điểm

M

thay đổi trong không gian sao cho diện tích tam giác

A B M

bằng

62

a)
Đoạn thẳng $A B$ có độ dài bằng $3$ .
b)
Đường thẳng $A B$ có phương trình là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{1}$ .
c)
Khoảng cách từ điểm $C$ tới đường thẳng $A B$ bằng $22$ .
d)
Đoạn thẳng $M C$ có độ dài nhỏ nhất bằng $2$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng

Câu 19

Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 6}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ và $d_{2} : \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{- 2}$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d_{1}$ và $(P)$ song song với đường thẳng $d_{2}$ . Tính khoảng cách từ điểm $M (- 1; 3; 2)$ đến mặt phẳng $(P)$ .

__________

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 20

Có 5 bạn học sinh nam và 5 bạn học sinh nữ, trong đó có một bạn nữ tên Tự và một bạn nam tên Trọng. Xếp ngẫu nhiên 10 bạn vào một dãy ghế sao cho mỗi ghế có đúng một người ngồi. Tính xác suất để không có hai học sinh nam nào ngồi kề nhau và bạn Tự ngồi kề với bạn Trọng.

______

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 21

Một xét nghiệm Covid–19 cho kết quả dương tính với $90%$ các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với $80%$ các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid–19 trong một cộng đồng nào đó là $1%$ . Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Tính xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus.

_____

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 22

Một tàu chở hàng đang đậu tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người lái tàu muốn chở hàng về kho phải đi thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi dùng xe đẩy hàng đến C với vận tốc 6 km/h (xem hình vẽ dưới đây).

Một tàu chở hàng đang đậu tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. (ảnh 1)

Tính độ dài đoạn BM để hàng được chuyển đến kho nhanh nhất (đơn vị: km).

__________

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 23

Câu tự luận

Phần IV (3 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 5 đến câu 7. Đối với mỗi câu, thí sinh viết quá trình và kết quả suy luận.

(1 điểm). Giải phương trình: $2^{x} + 2^{x + 1} = 3^{x} + 3^{x + 1}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có $2^{x} + 2^{x + 1} = 3^{x} + 3^{x + 1}$ $\Leftrightarrow 2^{x} + 2 \cdot 2^{x} = 3^{x} + 3 \cdot 3^{x}$

$\Leftrightarrow 3 \cdot 2^{x} = 4 \cdot 3^{x}$ $\Leftrightarrow \frac{3 ^{x}}{2 ^{x}} = \frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow (\frac{3}{2})^{x} = \frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow x = lo g_{\frac{3}{2}} \frac{3}{4}$ .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = lo g_{\frac{3}{2}} \frac{3}{4}$ .

Câu 24

Câu tự luận

(1 điểm). Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, 2 S A = A C = 26$ và $S A$ vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho hình chóp <span class= $S . A B C$ có đáy là tam (ảnh 1)">

Ta có $⎩ ⎨ ⎧ B C ⊥ A B B C ⊥ S A A B, S A \subset (S A B), A B \cap S A = A \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$ .

Trong mặt phẳng $(S A B)$ kẻ $A H ⊥ S B (H \in S B)$ (1).

Mà $B C ⊥ (S A B)$ $\Rightarrow A H ⊥ B C$ (2).

Có $B C, S B \subset (S B C), B C \cap S B = B$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $A H ⊥ (S B C)$ . Khi đó $d (A, (S B C)) = A H$ .

Tam giác $A B C$ vuông cân tại $B$ nên $A B = \frac{A C}{2} = \frac{2 6}{2} = 23$ .

Tam giác $S A B$ vuông tại $A$ có $A H$ là đường cao nên $A H = \frac{S A \cdot A B}{S A ^{2} + A B ^{2}} = \frac{6 \cdot 2 3}{( 6 ) ^{2} + ( 2 3 ) ^{2}} = 2$ .

Vậy $d (A, (S B C)) = A H = 2$ .

Câu 25

Câu tự luận

(1 điểm). Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $A B C D$ cạnh $A B = 4 m$ . Trên tấm biển đó có các đường tròn tâm $A$ và đường tròn tâm $B$ cùng bán kính $R = 4 m$ , hai đường tròn cắt nhau như hình vẽ. Chi phí để sơn phần gạch chéo là $150000$ đồng/ $m^{2}$ , chi phí sơn phần màu xám là $100000$ đồng/ $m^{2}$ và chi phí để sơn phần còn lại là $250000$ đồng/ $m^{2}$ . Tính số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên.

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông <span class= $A B C D$ cạ (ảnh 1)">

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi $I$ là giao điểm của 2 cung tròn . Chọn gốc toạ độ $A (0; 0)$ và hệ trục tọa độ $A x y$ như hình vẽ $\Rightarrow B (4; 0)$ .

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông <span class=

A B C D

cạ (ảnh 2)">

Xét cung tròn có phương trình $y = 16 - x^{2}$ .

Phần diện tích gạch chéo $S = 2 \cdot 2 \int 4 16 - x^{2} d x = \frac{16 π}{3} - 43$ (m²).

Phần diện tích màu xám: $2 \cdot (\frac{1}{4} π \cdot 4^{2} - \frac{16 π}{3} + 43) = \frac{- 8 π}{3} + 83$ (m²).

Phần diện tích còn lại: $16 - (\frac{16 π}{3} - 43 + \frac{- 8 π}{3} + 83) = 16 - \frac{8 π}{3} - 43$ (m²).

Số tiền để sơn biển quảng cáo:

$(\frac{16 π}{3} - 43) \cdot 150 000 + (\frac{- 8 π}{3} + 83) \cdot 100000 + (16 - \frac{8 π}{3} - 43) \cdot 250000 \approx 2195480$ đồng.