Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 5 (có đáp án)

21 câu · Đề giữa kì 2

7/21 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 14 câu còn lại.

Câu 1

A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Nguyên hàm

\int 5 x^{4} d x

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 2

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 3

Cho

\int_{0}^{2} f (x) d x = 3

và

\int_{0}^{2} g (x) d x = 7

, khi đó

\int_{0}^{2} [f (x) + 3 g (x)] d x

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 4

Cho hàm số

f (x)

liên tục, có đạo hàm trên

[- 1; 2], f (- 1) = - 8; f (2) = 1

. Tích phân

- 1 \int 2 f^{'} (x) d x

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 5

Nếu

2 \int 5 f (x) d x = 2

thì

2 \int 5 3 f (x) d x

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 6

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{2} - 2 x

, trục hoành, hai đường thẳng

x = 0

và

x = 1

quanh trục hoành là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 7

Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(P) : 2 x - 6 y - 4 z - 7 = 0

. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của

(P)

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 8

Trong không gian

O x y z

, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng

(P) : - 2 x + y - 5 = 0

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 9

Trong mặt phẳng

O x y z

, mặt phẳng nào dưới đây nhận

n = (3; 1; - 7)

là một vectơ pháp tuyến?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 10

Tìm nguyên hàm

F (x)

của hàm số

f (x) = sin 2 x

, biết

F (0) = 1

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 11

Cho

0 \int 1 f (x) d x = 2

, khi đó giá trị của

0 \int 1 [2 f (x) + e^{x}] d x

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 12

Trong không gian

O x y z

cho mặt phẳng

(P)

đi qua

M (2; - 1; 1)

và có một vectơ pháp tuyến

n = (1; - 2; 2)

. Phương trình mặt phẳng

(P)

là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 13

B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người ta nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp nhanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = - 2 t + 20$ , trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đạp phanh.

a)
Ô tô dừng lại sau 10 giây.
b)
Quãng đường $s (t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v (t)$ .
c)
Từ thời điểm đạp phanh đến khi dừng lại, ô tô đi được quãng đường là 90 m.
d)
Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối bằng 125 m.

Đáp án và lời giải

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai

Câu 14

Trong không gian

O x y z

, cho điểm

A (2; - 3; 1)

và mặt phẳng

(α) : x + 2 y - z + 1 = 0

(P)

là mặt phẳng đi qua

A

và song song với

(α)

a)
Mọi mặt phẳng có phương trình dạng $x + 2 y - z + m = 0$ (m là tham số thực) đều song song với $(α)$ .
b)
$(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q) : 2 x - 3 y - 4 z = 0$ .
c)
$(P)$ có phương trình dạng $a x + b y + cz + d = 0$ với $\frac{a}{d} = \frac{1}{5}$ .
d)
$(P)$ đi qua điểm $M (1; 2; - 1)$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Câu 15

Câu tự luận

C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.

Cho hàm số $f (x) = {2 x + 5 khi x \geq 1 3 x^{2} + 4 khi x < 1$ . Giả sử $F (x)$ là nguyên hàm của $f (x)$ trên $R$ thỏa mãn $F (0) = 2$ . Giá trị của $F (- 1) + 2 F (2)$ bằng bao nhiêu?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Trả lời: 27

Ta có $F (x) = {x^{2} + 5 x + C_{1} khi x \geq 1 x^{3} + 4 x + C_{2} khi x < 1$ .

Vì $F (0) = 2$ nên $F (0) = 0^{3} + 4.0 + C_{2} = 2 \Rightarrow C_{2} = 2$ .

Vì $F (x)$ liên tục nên $x \to 1^{+} lim F (x) = x \to 1^{-} lim F (x) = F (1)$ $\Leftrightarrow 6 + C_{1} = 7 \Rightarrow C_{1} = 1$ .

Do đó $F (x) = {x^{2} + 5 x + 1 khi x \geq 1 x^{3} + 4 x + 2 khi x < 1$ .

Ta có $F (- 1) = (- 1)^{3} + 4. (- 1) + 2 = - 3; F (2) = 2^{2} + 5.2 + 1 = 15$ .

Do đó $F (- 1) + 2 F (2) = - 3 + 2.15 = 27$ .

Câu 16

Câu tự luận

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ và $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ , biết $2 \int 5 f (x) d x = 9$ và $F (2) = 2$ . Tính $F (5)$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Trả lời: 11

Ta có $9 = 2 \int 5 f (x) d x = F (x) ∣_{2}^{5} = F (5) - F (2) = F (5) - 2 \Rightarrow F (5) = 11$ .

Câu 17

Câu tự luận

Trong không gian $O x y z$ . Tìm giá trị của $m$ để hai mặt phẳng $(α) : 7 x - 3 y + m z - 3 = 0$ và $(β) : x - 3 y + 4 z + 5 = 0$ vuông góc với nhau.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Trả lời: −4

Ta có $n_{α} = (7; - 3; m), n_{β} = (1; - 3; 4)$ .

Để $(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow n_{α} . n_{β} = 0 \Leftrightarrow 7.1 + (- 3) . (- 3) + m .4 = 0 \Leftrightarrow m = - 4$ .

Câu 18

Câu tự luận

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , mặt phẳng đi qua điểm $M (1; 0; 0)$ và song song với mặt phẳng $(α) : 2 x - y - 1 = 0$ có dạng $- x + b y + cz + d = 0$ . Tính $b + c - 3 d$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Trả lời: −2,5

Mặt phẳng $(P) // (α)$ nên mặt phẳng $(P)$ có dạng: $2 x - y + d = 0 (d \neq = - 1)$ .

Vì $(P)$ đi qua $M (1; 0; 0)$ nên $2.1 - 0 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 2$ .

Do đó $(P) : 2 x - y - 2 = 0$ $\Leftrightarrow - x + \frac{1}{2} y + 1 = 0$ .

Suy ra $b = \frac{1}{2}; c = 0; d = 1$ . Do đó $b + c - 3 d = - 2, 5$ .

Câu 19

Câu tự luận

PHẦN II. TỰ LUẬN

Cho $g (x) = 0 \int x f (t) d t, (0 \leq x \leq 7)$ trong đó $f (t)$ là hàm số có đồ thị như hình. Tính $g (3)$ .

$Cho \(g\left( x \right) = \int\limits Ta có: (ảnh 1)$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có: $g (3) = 0 \int 3 f (t) d t = 0 \int 1 f (t) d t + 1 \int 2 f (t) d t + 2 \int 3 f (t) d t$

$= 0 \int 1 2d t + 1 \int 2 2 t d t + 2 \int 3 (12 - 4 t) d t$

$= 2 t ∣_{0}^{1} + t^{2}_{1}^{2} + (12 t - 2 t^{2})_{2}^{3} = 7$ .

Câu 20

Câu tự luận

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (tham khảo hình vẽ). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Chọn hệ trục tọa độ $O x y$ sao cho $A (30; 0), B (0; 20)$ .

Khi đó, parabol $(P)$ có đỉnh là $B (0; 20)$ và đi qua điểm $A (30; 0)$ nên $(P)$ có phương trình là $y = - \frac{1}{45} x^{2} + 20$ .

Khi đó tổng diện tích các phần parabol là $4 0 \int 30 (- \frac{1}{45} x^{2} + 20) d x = 1600$ (m²).

Vậy diện tích phần sân chơi là $60.80 - 1600 = 3200$ (m²).

Câu 21

Câu tự luận

Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục tọa độ $O x y z$ vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới mà tọa độ lần lượt là $(1; 1; 10), (4; 3; 1), (3; 2; 5)$ và mặt phẳng (P) đi qua ba nút lưới đó có phương trình $x + m y + n z + p = 0$ . Xác định phương trình của mặt phẳng (P).

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Giả sử $A (1; 1; 10), B (4; 3; 1), C (3; 2; 5)$ .

Ta có $A B = (3; 2; - 9), A C = (2; 1; - 5), [A B, A C] = (- 1; - 3; - 1)$ .

Chọn $n = (1; 3; 1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Suy ra $(P)$ có phương trình là $(x - 1) + 3 (y - 1) + (z - 10) = 0 \Leftrightarrow x + 3 y + z - 14 = 0$ .